Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Kurvendiskussion.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x+1$ Nr. 2092
	$W(3/3)$
	$W(4/5)$
	$W(1/0)$
	$W(0/1)$
Lösungsweg $f(x)=x^{3}-3x+1$ $f'(x)=3x^{2}-3$ $f''(x)=6x$ $f''(x)=0$ $6x=0$ $x=0$ $f(0)=1$ $\to \qquad W(0/1)$

4 erreichbare Punkte

Die Funktion $f:\, x\to -\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=2$ . Berechnen Sie $a_{2}$ . Nr. 2082
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-\frac{1}{8}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{2}{5}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-4x^{2}+2$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+2a_{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+2a_{2}$ $f''(2)=0$ $-\frac{3}{4}\cdot 2+2a_{2}=0$ $a_{2}=\frac{3}{4}$ $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$

4 erreichbare Punkte

Der Wendepunkt W der folgenden Funktion liegt bei $(4/6)$ . Bestimmen Sie die Wendetangente der Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2089
	$y=-\frac{3}{2}x+4$
	$y=\frac{3}{2}x$
	$y=\frac{1}{3}x$
	$y=-4x+7$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f'(4)=-\frac{3}{8}\cdot 16+3\cdot 4-\frac{9}{2}$ $f'(4)=\frac{3}{2}=k$ $y=kx+d$ $y=y_{w}=6$ $x=x_{w}=4$ $6=\frac{3}{2}\cdot 4+d$ $d=0$ $t_{w}\,:\qquad y=\frac{3}{2}x$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2087
	$T(2/4)$ $H(6/8)$
	$T(4/2)$ $H(8/6)$
	$T(2/-4)$ $H(-6/8)$
	$T(5,5/1)$ $H(-1/9)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+3$ $f'(x)=0$ $-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}=0 \qquad /\qquad \cdot\qquad -\frac{8}{3}$ $x^{2}-8x+12=0$ Kleine Lösungsformel: $x_{1,2}=4\pm\sqrt{16-12}$ $x_{1}=6$ $x_{2}=2$ $f(6)=8$ $f''(6)=-1,5 \qquad \to \qquad < \qquad 0 \qquad \to \qquad H(6/8)$ $f(2)=4$ $f''(2)=1,5 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(2/4)$

4 erreichbare Punkte

Der Graph der Funktion $x \qquad \to \qquad f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ besitzt den Sattelpunkt S(1/4). Berechnen Sie a1 und a2! Nr. 1589
	$f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1$
	$f(x)=x^{3}-8x^{2}+3x+3$
	$f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-3$
	$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6x+2a_{2} \end{eqnarray}$ Aus der Tatsache, dass S(1/4) ein Sattelpunkt ist, lassen sich drei Gleichungen ableiten: $\begin{eqnarray} f(1)=4 \qquad \Rightarrow \qquad 1+a_{2}+a_{1}+a_{0}=4\\ f'(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3+2a_{2}+a_{1}=0\\ f''(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 6+2a_{2}=0\\ \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} a_{2}=-3\\ a_{1}=3\\ a_{0}=3 \end{eqnarray}$ $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$ Nr. 1590
	$\begin{eqnarray} H(1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} T(-1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
	Die Funktion besitzt keine Extremwerte.
	$\begin{eqnarray} T(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\\ f'(x)=3x^{2}-6x+3\\ f''(x)=6x-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{5}\\ 3x^{2}-6x+3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}-2x+1=0\\ \vspace{5}\\ (x-1)^{2}=0\\ \vspace{5}\\ x_{1}=x_{2}=1 \end{eqnarray}$ Es liegt eine Doppelnullstelle der 1. Ableitungsfunktion vor. Das deutet auf einen Wendepunkt hin. (Wie man zb mit der zweiten Ableitung nachweisen kann, die an dieser Stelle 0 ist.)

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4$ Nr. 1548
	Die Funktion besitzt keinen Wendepunkt.
	$W(-\frac{2}{3}/0)$
	$W(\frac{2}{3}/-\frac{22}{27})$
	$W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x-4\\ f'(x)= 3x^{2}+4x-3\\ f''(x)=6x+4\\ f''(x)=0\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow6x+4=0\\ \vspace{5}\\ x=-\frac{2}{3}=-0,67\\ \vspace{5}\\ f(-\frac{2}{3})=-\frac{38}{27}=-1,41 \end{eqnarray}$ $\Rightarrow \hspace{20} W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$ Nr. 1584
	$\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-3/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-4/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-3/58)\\ T(-1/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-3/4)\\ T(-1/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} T(-3/4)\\ H(-1/0) \end{eqnarray}$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\\ f'(x)=3x^{2}+12x+9\\ f''(x)=6x+12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ 3x^{2}+12x+9=0\\ x^{2}+4x+3=0\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}=-2\pm1\\ x_{1}=-3 \Rightarrow f(x_{1})=4\\ x_{2}=-1 \Rightarrow f(x_{2})=0 \end{eqnarray}$ Klassifikation der Extremwerte: $\begin{eqnarray} f''(x_{1})=f''(-3)=-6 \qquad <0 \Rightarrow Hochpunkt \qquad H(-3/4)\\ \vspace{5}\\ f''(x_{2})=f''(-1)=6 \qquad >0 \Rightarrow Tiefpunkt \qquad T(-1/0) \end{eqnarray}$

5 erreichbare Punkte

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