Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Vektorprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Sind die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ linear unabhängig oder linear abhängig? $\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} -13 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}$ Nr. 3018
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear abhängig.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante $det A \neq 0$ ist, bzw das Spatprodukt $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not = 0$

3 erreichbare Punkte

Sind die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ linear unabhängig oder linear abhängig? $\vec a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3016
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear abhängig.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante $det A \neq 0$ ist. Die Determinante von A ist aber genau das Spatprodukt $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c$ der Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ und $\vec c$ .

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\2 \\-1 \end{pmatrix}$ , $\vec b= \begin{pmatrix} -2 \\1 \\4 \end{pmatrix}$ Nr. 2109
	$\vec a \times \vec b = -8$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2\cdot 4 -(-1)\cdot 1 \\ (-1)\cdot (-2) - 3\cdot 4 \\ 3\cdot 1 - 2\cdot (-2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2110
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = 0$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ -3-4 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3004
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = 0$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 8-(-3) \\ -3-4 \\ 2-4 \end{pmatrix}$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3007
	0
	1
	2
	2,8
	3,9
Lösungsweg 2 parallele Vektoren können kein Parallelogramm aufspannen. Das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren ist stets 0.

5 erreichbare Punkte

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3010
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC}$

5 erreichbare Punkte

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec {AB}$ entspricht der z-Achse, $\vec {AC}$ entspricht der x-Achse. $\vec n$ muss daher parallel zur y-Achse sein.

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