Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\y\\4\end{pmatrix}$ Nr. 2528
	y=-2,67
	y=3,2
	y=3,67
	y=4,5
	y=5,33
Lösungsweg $8-3y-16=0 \\ -8/3=z$

5 erreichbare Punkte

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts $\vec b$ auf $\vec a$ . $\vec b = \begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}$ , $\vec a=\begin{pmatrix}5\\2\\11\end{pmatrix}$ Nr. 2534
	$\begin{pmatrix}0,70\\0,28\\1,54 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 0,49\\0,20\\1,08 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,49\\0,42\\-1,54 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1,05\\0,42\\2,31 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1,05\\0,28\\1,08 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: $\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}$ Also gilt für den Betrag der Projektion $\vec{p_a(b)}$ von $\vec b$ auf $\vec a$ : $\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}$ Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von $\vec a$ , also multipliziert mit dem Einheitsvektor. $\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$ $\vec a \cdot \vec b= 5-6+22=21$ $\|\vec{a}\|=\sqrt{5^2+2^2+11^2}=\sqrt{150}$ $\vec{p_a(b)}=\frac {21}{\sqrt{150}^2}\cdot \begin{pmatrix}5\\2\\11\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0.7\\0.28\\1.54\end{pmatrix}$

5 erreichbare Punkte

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts $\vec b$ auf $\vec a$ . $\vec b = \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec a=\begin{pmatrix}4\\0\\11\end{pmatrix}$ Nr. 2535
	$\begin{pmatrix} -0,16\\0\\-0,45 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,23\\0\\-0,64 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,96 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,45 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 0,16\\0\\0,64 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: $\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}$ Also gilt für den Betrag der Projektion $\vec{p_a(b)}$ von $\vec b$ auf $\vec a$ : $\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}$ Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von $\vec a$ , also multipliziert mit dem Einheitsvektor. $\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$

5 erreichbare Punkte

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts $\vec b$ auf $\vec a$ . $\vec b = \begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec a=\begin{pmatrix}15\\6\\9\end{pmatrix}$ Nr. 2536
	$\begin{pmatrix} 7,5\\3\\4,5 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -3,5\\3\\-3 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 3,5\\1,4\\2,1 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 7,5\\2\\2,1 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 5\\2\\3 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: $\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}$ Also gilt für den Betrag der Projektion $\vec{p_a(b)}$ von $\vec b$ auf $\vec a$ : $\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}$ Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von $\vec a$ , also multipliziert mit dem Einheitsvektor. $\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$

5 erreichbare Punkte

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}x\\4\\1\end{pmatrix}$ Nr. 2529
	x=-4,5
	x=-2
	x=-0,67
	x=1,5
	x=3,2
Lösungsweg $4x+4+4=0 \\ x=-8/4=-2$

5 erreichbare Punkte

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(-2\|-1\|1)$ , $B=(-5\|2\|4)$ , $C=(-1\|1\|3)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2517
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg $\vec {AC} = \begin{pmatrix} -1\\-2\\-2 \end{pmatrix}$ , $\vec {BC} = \begin {pmatrix}-4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec{AC} \cdot \vec{BC}= -1\cdot (-4) -2 \cdot 1 - 2 \cdot 1= 0$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2108
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = 14$
	$\vec a \cdot \vec b = 15$
Lösungsweg $\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} =1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 15$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2333
	-8
	$\begin{pmatrix} -8\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}$
	14
Lösungsweg $\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot (4-)+3\cdot (-1) + 3\cdot 1=-8$

3 erreichbare Punkte

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