Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Skalarprodukt.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechne das Skalarprodukt: $\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ Nr. 2523
	-2
	3
	8
	12
	16

5 erreichbare Punkte

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(-1\|1\|2)$ , $B=(2\|1\|5)$ , $C=(1\|-1\|3)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2518
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

4 erreichbare Punkte

Bilden Sie mit den Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ das folgende Produkt (Spatprodukt): $(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b$ Nr. 3015
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ 54 \\ 6 \end{pmatrix}$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = 84$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ -54 \\ 6 \end{pmatrix}$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = -24$

4 erreichbare Punkte

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(25\|13\|4)$ , $B=(11\|5\|10)$ , $C=(20\|0\|-25)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2513
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg $\vec {AB}= \begin{pmatrix} 14\\ 8 \\-6 \end{pmatrix}$ , $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 29 \end{pmatrix}$ $\vec{AB} \cdot \vec {AC} = 14 \cdot 5 + 8 \cdot 13 -6 \cdot 29 = 0$

4 erreichbare Punkte

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts $\vec b$ auf $\vec a$ . $\vec b = \begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\vec a=\begin{pmatrix}4\\0\\11\end{pmatrix}$ Nr. 2535
	$\begin{pmatrix} -0,16\\0\\-0,45 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,23\\0\\-0,64 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,96 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -0,35\\0\\-0,45 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 0,16\\0\\0,64 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: $\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}$ Also gilt für den Betrag der Projektion $\vec{p_a(b)}$ von $\vec b$ auf $\vec a$ : $\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}$ Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von $\vec a$ , also multipliziert mit dem Einheitsvektor. $\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Winkel $\gamma$ zwischen den beiden Vektoren $\vec v_1= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec v_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$ Nr. 2349
	58,3°
	71,2°
	50,1°
	27,4°
	112,2°
Lösungsweg $\vec v_1= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec v_2= \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$ $\cos \gamma = \frac {\vec v_1 \cdot \vec v_2}{\|\vec v_1\| \ \|\vec v_2\|} =$ $\frac {(-1)\cdot 2 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+3^2+2^2} \ \sqrt{2^2+1^2+4^2}} = \frac {9}{\sqrt{14} \sqrt{21}}}$ $\gamma= \cos^{-1}\left(\frac {9}{\sqrt{14} \sqrt{21}}\right) \approx 58.3^\circ$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2108
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = 14$
	$\vec a \cdot \vec b = 15$
Lösungsweg $\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} =1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 15$

4 erreichbare Punkte

Vektorprojektion/Normalprojektion Projeziere mit Hilfe des Skalarprodukts $\vec b$ auf $\vec a$ . $\vec b = \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$ , $\vec a=\begin{pmatrix}5\\2\\8\end{pmatrix}$ Nr. 2533
	$\begin{pmatrix}2,18\\0,87\\3,48\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}2,18\\0,58\\1,63\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}1,02\\0,41\\1,63\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}1,45\\0,58\\2,32\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}-1,02\\0,87\\-2,32\end{pmatrix}$
Lösungsweg Lösungsweg: Mit der Definition des Cosinus sowie der Winkelformel zwischen zwei Vektoren gilt: $\frac{\|\vec{p_a(b)}\|}{\|\vec b\|}=\cos(\vec a,\vec b)=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|\cdot\|\vec b\|}$ Also gilt für den Betrag der Projektion $\vec{p_a(b)}$ von $\vec b$ auf $\vec a$ : $\|\vec{p_a(b)}\|=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\|\vec a\|}$ Der Projektionsvektor selbst ist die Länge der Projektion in Richtung von $\vec a$ , also multipliziert mit dem Einheitsvektor. $\vec{p_a(b)}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\vec{a_0}=\|\vec{p_a(b)}\|\cdot\frac{\vec a}{\|\vec a\|}$ $\vec a\cdot \vec b=5+6+16=27$ $\|\vec{a}\|= \sqrt{93}$ $\vec{p_a(b)}=\frac {27}{\sqrt{93}^2}\cdot \begin{pmatrix} 5\\2\\8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.45\\0.58\\2.32\end{pmatrix}$

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