Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Bestimmte Integrale - Substitution.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2927
	$- \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
	$\ln \\|\frac2{2 - \sqrt2}\\|$
	$\ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
	$e - \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
Lösungsweg $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))$ $\mathrm{d}x=-\frac1{\sin(x)}\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-u} \cdot (-\frac1{\sin(x)}) \mathrm{d}u = - \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u =$ $\text{setze } 1-u=t$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ $\mathrm{d}u=- \mathrm{d}t$ $- \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u = -\int \frac1{t} \cdot (-1) \mathrm{d}t = \int \frac1{t} \cdot \mathrm{d}t = \ln \\|t \\| + C =$ $\ln \\|1-u \\| + C = \ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$ $\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x 0 = [\ln \\|1 - \cos(x) \\| ]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} =$ $\ln \\|1 - \cos(\frac\pi2) \\| - \ln \\|1 - \cos(\frac\pi4) \\| = \ln \\|1 \\| - \ln \\|1 - \frac{\sqrt2}2 \\| = - \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int \limits_{0}^\pi \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2969
	$\frac1n - \frac1n \cos(n\pi)$
	$\frac1n \cos(n\pi) -\frac1n$
	$\cos(n\pi)-1$
	$0$
Lösungsweg $\int \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=nx$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(nx)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{n} \mathrm{d}u$ $\int \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x = \frac1n \int \! \sin (u) \ \mathrm{d}u = -\frac1n \cos(u) = -\frac1n \cos(nx)$ $\int \limits_{0}^\pi \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x = [ -\frac1n \cos(nx)]_{0}^\pi = - \frac1n \cos(n\pi)+\frac1n \cos(0) + = \frac1n - \frac1n \cos(n\pi)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das folgendes Integral $\lim\limits_{a \to - \infty} \int \limits_a^0 e^{-2x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2920
	$0$
	$\infty$
	$-\infty$
	unlösbar
	$1$
Lösungsweg $\text{setze } u=-2x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x)$ $\mathrm{d}x=- \frac12 \mathrm{d}u$ $\int e^{-2x}\ \mathrm{d}x = - \frac12 \int e^u \cdot \mathrm{d}u =$ $- \frac12 e^u = - \frac12 e^{-2x}$ $\lim\limits_{a \to - \infty} \int \limits_a^0 e^{-2x}\ \mathrm{d}x = \lim\limits_{a \to - \infty} [- \frac12 e^{-2x} ]_a^0 =$ $\lim\limits_{a \to - \infty} [- \frac12 \cdot \frac{1}{e^{2x}} ]_a^0 =$ $- \frac12 \cdot \frac{1}{e^{2\cdot 0 }} - (- \frac12 \cdot \frac{1}{e^{- \infty}}) =$ $- \frac12 \cdot 1 + \frac12 \cdot e^{ \infty} = - \frac12 + e^{ \infty} = e^{ \infty} = \inft$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das folgende Integral: $\int \limits_{1}^{e^2}\frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x$ Nr. 2925
	$2$
	$1$
	$\frac{e^2}2$
Lösungsweg $\int \frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\ln(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(x))$ $\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x = \int \frac{u }{x } \cdot x \ \mathrm{d}u = \int u \ \mathrm{d}u =$ $\frac{u^2}2 = \frac{\(ln(x))^2}2$ $\int \limits_{1}^{e^2}\frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x = [\frac{\(ln(x))^2}2 ]_{1}^{e^2}$ $\frac{\(ln(e^2))^2}2 - \frac{\(ln(1))^2}2 = \frac42 - 0 = 2$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie folgendes Integral $\lim\limits_{a \to \infty} \int \limits_0^a e^{-x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2919
	$1$
	$\infty$
	$-\infty$
	$-1$
	$0$
Lösungsweg $\text{setze } u=-x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x)$ $\mathrm{d}x=- \mathrm{d}u$ $\int e^{-x}\ \mathrm{d}x = - \int e^u \cdot \mathrm{d}u =$ $-e^u = - e^{-x}$ $\lim\limits_{a \to \infty} \int \limits_0^a e^{-x}\ \mathrm{d}x = \lim\limits_{a \to \infty} [- e^{-x} ]_0^a =$ $\lim\limits_{a \to \infty} [-\frac{1}{e^x} ]_0^a = -\frac{1}{e^\infty} - (-\frac{1}{e^0}) = 0 + 1 = 1$

5 erreichbare Punkte

$\int\limits_{-2}^{5} e^{-\frac t3} \mathrm{d}t$ Nr. 2148
	$e$
	$5,28$
	$-2$
	$-3\left( e^{-\frac 53}-e^{\frac 23} \right)$
Lösungsweg $\text{setze } u=-\frac t3$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (-\frac t3) = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ $dt = -3\ \mathrm{d}u$ $\left. \int\limits_{-2}^{5} e^{-\frac t3} \mathrm{d}t= -3 \int\limits_{-2}^{5} e^u \ \mathrm{d}u = -3\cdot e^u \right\|_{-2}^5=$ $\left. -3\cdot e^{-\frac t3}\ \right\|_{-2}^5= -3\left( e^{-\frac 53}-e^{\frac 23} \right) =5,28$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie folgendes Integral $\int \limits_{0}^{\pi} x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2972
	$\frac12 \cdot \sin(\pi^2)$
	$\sin(\pi^2)$
	$\frac{\pi}2 \cdot \sin(\pi^2)$
	$0$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x = \int x \cdot \cos(u) \cdot \frac1{2x} \ \mathrm{d}u=$ $\frac12 \cdot \int \cos(u) \ \mathrm{d}u = \frac12 \cdot \sin(u) \ =$ $\frac12 \cdot \sin(x^2)$ $\int \limits_{0}^{\pi} x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x = [\frac12 \cdot \sin(x^2)]_{0}^{\pi} = [\frac12 \cdot \sin(\pi^2)]- [\frac12 \cdot \sin(0)] = \frac12 \cdot \sin(\pi^2)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das Integral: $\int\limits_{0}^{\sqrt\pi} x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2913
	$2$
	$0$
	$-1$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x = \int x \cdot \cos(u) \cdot \frac1{2x} \ \mathrm{d}u=$ $\frac12 \cdot \int \cos(u) \ \mathrm{d}u = \frac12 \cdot \sin(u) \ =$ $\frac12 \cdot \sin(x^2)$ $\int\limits_{0}^{\sqrt\pi} x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x = [\frac12 \cdot \sin(x^2)]_{0}^{\sqrt\pi} =$ $\frac12 \cdot \sin(\pi) - \frac12 \cdot \sin(0) = 0$

3 erreichbare Punkte

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Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2927
	$- \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
	$\ln \\|\frac2{2 - \sqrt2}\\|$
	$\ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
	$e - \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$
Lösungsweg $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))$ $\mathrm{d}x=-\frac1{\sin(x)}\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-u} \cdot (-\frac1{\sin(x)}) \mathrm{d}u = - \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u =$ $\text{setze } 1-u=t$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ $\mathrm{d}u=- \mathrm{d}t$ $- \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u = -\int \frac1{t} \cdot (-1) \mathrm{d}t = \int \frac1{t} \cdot \mathrm{d}t = \ln \\|t \\| + C =$ $\ln \\|1-u \\| + C = \ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$ $\int\limits_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x 0 = [\ln \\|1 - \cos(x) \\| ]_{\frac\pi4}^{\frac\pi2} =$ $\ln \\|1 - \cos(\frac\pi2) \\| - \ln \\|1 - \cos(\frac\pi4) \\| = \ln \\|1 \\| - \ln \\|1 - \frac{\sqrt2}2 \\| = - \ln \\|\frac{2 - \sqrt2}2 \\|$

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