Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 7 Fragen zu Unbestimmte Integrale - gemischte Aufgaben.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int x^2 \cdot \sin(nx) \mathrm{d}x$ Nr. 2982
	$-\frac{x^2}n \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) +\frac2{n^3} \cos(n x) +C$
	$\frac{(-x^2 n^2 + 2)\cos(nx) + 2nx \sin(nx)}{n^3} + C$
	$-x^2n \cos(nx) + 2xn^2 \sin(nx) +2n^3 \cos(n x) +C$
	$\frac{(x^2 n^2 - 2)\cos(nx) -2nx \sin(nx)}{n^3} + C$
Lösungsweg $\int x^2 \cdot \sin(nx) \mathrm{d}x$ $setze: f(x) = x^2 \ ; g'(x) = \sin(nx)$ $f'(x) = 2x \ ; g(x) =-\frac1n\cos(x)$ $\int x^2 \cdot sin(nx) \mathrm{d}x = - \frac1n x^2 \cos(x) + \int \frac1n \cdot 2x\cdot \cos(nx) \mathrm{d}x$ nochmalige partielle Integration $setze: f(x) = \frac2n x \ ; g'(x) = \cos(nx)$ $f'(x) = \frac2n \ ; g(x) =\frac1n \sin(nx)$ $- \frac1n x^2 \cos(x) + \int \frac1n \cdot 2x\cdot \cos(nx) \mathrm{d}x = - \frac1n x^2 \cos(x) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) + \frac2{n^3} \cos(nx) =$ $-\frac{x^2}n \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) +\frac2{n^3} \cos(n x) = \frac{(-x^2 n^2 + 2)\cos(nx) + 2nx \sin(nx)}{n^3}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int ( (\sin(x))^2 + (\cos(x))^2) \mathrm{d}x$ Nr. 2954
	$x + C$
	$0 + C$
	$\sin(x) \cos(x) + C$
	$-\sin(x) \cos(x) + C$
Lösungsweg $\int ( (\sin(x))^2 + (\cos(x))^2) \mathrm{d}x$ $(\sin(x))^2 + (\cos(x))^2 = 1$ $\int ( (\sin(x))^2 + (\cos(x))^2) \mathrm{d}x = \int 1\mathrm{d}x = x$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int\frac 12 (0,8+0,5 \cos4x)\ \mathrm{d}x$ Nr. 2155
	$\cos 4x+\frac 12\sin 4x +C$
	$\frac x2-\frac 14\sin 4x +C$
	$\frac 25x+\frac 1{16}\sin 4x +C$
Lösungsweg $\int\frac 12 (0,8+0,5 \cos4x)\ \mathrm{d}x = \frac 12 \left( 0,8x+0,5\sin4x \cdot \frac 14\right) =$ $\frac 25x+\frac 1{16}\sin 4x +C$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int(2-3\sin2x)\ \mathrm{d}x$ Nr. 2154
	$2x- \cos2x +C$
	$2x+ \frac 32 \cos2x +C$
	$\frac 3{\sin2x} +C$
Lösungsweg $\int(2-3\sin2x)\ \mathrm{d}x = 2x-3(-\cos2x)\cdot \frac 12=$ $2x+ \frac 32 \cos2x +C$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x \cdot \cos(nx) \ \mathrm{d}x$ $n \in \mathbb R$ Nr. 2965
	$\frac{x}n \sin(nx) + \frac1{n^2}\cos(nx) + C$
	$\frac{x}n \sin(nx) - \frac1{n^2}\cos(nx) + C$
	$xn \sin(nx) + n^2\cos(nx) + C$
	$-\frac{x}n \sin(nx) -\frac1{n^2}\cos(nx) + C$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos(nx) \ \mathrm{d}x$ $f(x) = x \ , \ g'(x) = \cos(nx)$ $f(x) = 1 \ , \ g'(x) = \frac1n\sin(x)$ $\int x \cdot \cos(nx) \ \mathrm{d}x = \frac1n x \sin(nx) - \int\frac1n \sin(nx) \ \mathrm{d}x = \frac{x}n \sin(nx) + \frac1{n^2}\cos(nx)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x \cdot \sin(n \cdot x) \ \mathrm{d}x$ $n \in \mathbb R$ Nr. 2964
	$- \frac{x}n \cos(nx) + \frac1{n^2}\sin(nx) + C$
	$-xn\cdot \cos(nx) + xn^2\cdot \sin(nx) + C$
	$\frac{x}n \cos(nx) - \frac1{n^2}\sin(nx) + C$
	$- \frac{x}n \cos(nx)- \frac1{n^2}\sin(nx) + C$
Lösungsweg $\int x \cdot \sin(nx) \ \mathrm{d}x$ $f(x) = x \ , \ g'(x) = \sin(nx)$ $f(x) = 1 \ , \ g'(x) = -\frac1n\cos(x)$ $\int x \cdot \sin(nx) \ \mathrm{d}x = -\frac1n x \cos(nx) + \int\frac1n \cos(nx) \ \mathrm{d}x = - \frac{x}n \cos(nx) + \frac1{n^2}\sin(nx)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int x^2 \cdot \cos(n x) \mathrm{d}x$ $n \in \mathbb R$ Nr. 2980
	$\frac{x^2}n \sin(nx) + \frac{2x}{n^2} \cos(nx) -\frac2{n^3} \sin(n x) + C$
	$\frac{(x^2 n^2 - 2)\sin(nx) + 2nx \cos(nx)}{n^3} + C$
	$x^2n \sin(nx) + 2xn^2 \cos(nx) -2n^3 \sin(n x) + C$
Lösungsweg $\int x^2 \cdot \cos(nx) \mathrm{d}x$ $\text{Setze}: f(x) = x^2 \ ; g'(x) = \cos(nx)$ $f'(x) = 2x \ ; g(x) =\frac1n\sin(x)$ $\int x^2 \cdot \cos(nx) \mathrm{d}x = \frac1n x^2 \sin(x) - \int \frac1n \cdot 2x\cdot \sin(nx) \mathrm{d}x$ nochmalige partielle Integration $\text{Setze}: f(x) = \frac2n x \ ; g'(x) = \sin(nx)$ $f'(x) = \frac2n \ ; g(x) =-\frac1n \cos(nx)$ $\frac1n x^2 \sin(nx) - \int \frac{2x}{n}\sin(nx) \mathrm{d}x = \frac1n x^2 \sin(nx) + \frac{2x}{n^2} \cos(nx) -\frac2{n^3} \sin(nx) =$ $\frac{x^2}n \sin(nx) + \frac{2x}{n^2} \cos(nx) -\frac2{n^3} \sin(n x) = \frac{(x^2 n^2 - 2)\sin(nx) + 2nx \cos(nx)}{n^3}$

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