Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Unbestimmte Integrale - Partielle Integration.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int x^2 \cdot e^x \ \mathrm{d}x$ Nr. 2896
	$e^x \cdot (x^2 - 2x - 2) + C$
	$e^x \cdot (x^2 - 2x + 2) + C$
	$e^x \cdot (x^2 + 2x - 2) + C$
Lösungsweg $\int x^2 \cdot e^x \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } f(x)=x^2 ,\ g'(x)= e^x$ $f'(x) = 2x \ ; \ g(x) = e^x$ $\int x^2 \cdot e^x \ \mathrm{d}x = x^2 \cdot e^x - \int 2 x \cdot e^x \mathrm{d}x$ nochmal partielle Integration mit $\text{setze } f(x)=2x ,\ g'(x)= e^x$ $f'(x) = 2 \ ; \ g(x) = e^x$ $x^2 \cdot e^x - \int 2 x \cdot e^x \mathrm{d}x = \\ x^2 \cdot e^x - ( 2 x \cdot e^x - \int 2 \cdot e^x \mathrm{d}x ) = \\ x^2 \cdot e^x - ( 2 x \cdot e^x - 2 \cdot e^x ) = e^x ( x^2 - 2x + 2)$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int x \cdot e^x \ \mathrm{d}x$ Nr. 2895
	$e^x ( x-1) + C$
	$e^x + C$
	$e^{x+1} ( x-1) + C$
	$x \cdot \ln(x) - x \cdot \ln(x) + x + C$
Lösungsweg $\int x \cdot e^x \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x ,\ \mathrm{d}v= e^x \ \mathrm{d}x$ $v= e^x$ $\int x \cdot e^x \ \mathrm{d}x = x \cdot e^x - \int e^x \mathrm{d}x = x \cdot e^x - e^x = e^x \cdot (x-1)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int (-5x+12) \cdot \cos(3x) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2143
	$-\frac x{5x+12}\sin 3x + \frac 13 \cos (5x+3) +C$
	$\frac 13 (-5x+12)\sin 3x - \frac 59 \cos 3x +C$
	$5 (-5x+12) \sin 3x +C$
Lösungsweg $\int (-5x+12) \cdot \cos(3x) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=-5x+12 \text{, } \mathrm{d}v=\cos 3x \ \mathrm{d}x$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-5x+12)= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}u=(-5) \ \mathrm{d}x$ $v= -\frac 13 \sin 3x$ $\int (-5x+12) \cdot \cos(3x) \ \mathrm{d}x= (-5x+12)\frac 13 \sin 3x - \int \frac 13 \sin 2x (-5) \ \mathrm{d}x =$ $\frac 13 (-5x+12)\sin 3x - \frac 53 \cdot \frac 13 \cos 3x +C = \frac 13 (-5x+12)\sin 3x - \frac 59 \cos 3x +C$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int (5x-4) \cdot \cos (8x) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2141
	$- (5x-4) \cos 8x - \frac 18 \sin 8x +C$
	$8(5x-4)+ \cos 8x +C$
	$\frac 18 (5x-4) \sin 8x + \frac 5{64} \cos 8x +C$
Lösungsweg $\int (5x-4) \cdot \cos (8x) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=5x-4 \text{, } \mathrm{d}v= \cos (8x) \ \mathrm{d}x$ $\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (5x-4)= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}u=5 \ \mathrm{d}x$ $v=\frac 18 \cdot \sin 8x$ $\int (5x-4) \cdot \cos (8x) \ \mathrm{d}x= (5x-4)\cdot \frac 18\cdot \sin 8x - \int \frac 18 \sin 8x \cdot 5 \ \mathrm{d}x=$ $\frac 18 (5x-4) \sin 8x - \frac 58 \cdot \int \sin 8x \ \mathrm{d}x = \frac 18 (5x-4) \sin 8x - \frac 58 \cdot \frac 18 ( - \cos 8x)+C= \frac 18 (5x-4) \sin 8x + \frac 5{64} \cos 8x +C$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \left( \frac x3 +5\right) \cdot \sin(7x) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2144
	$- \frac x3 \cos 7x + \frac 17 \sin 7x +C$
	$\frac x3 + \cos 7x +C$
	$-\frac 17 \left( \frac x3 +5\right) \cos 7x + \frac 1{147} \sin 7x +C$
Lösungsweg $\text{setze } u=\frac x3 +5 \text{, } \mathrm{d}v=\sin(7x) \ \mathrm{d}x$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac x3 +5)= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}u=\frac 13 \ \mathrm{d}x$ $v= -\frac 17 \cos 7x$ $\int (\frac x3 +5) \cdot \sin(7x) \ \mathrm{d}x= \left( \frac x3 + 5\right) \left( -\frac 17 \cos 7x\right) -\int \left( -\frac 17 \cos 7x\right) \frac 13 \ \mathrm{d}x =$ $-\frac 17 \left( \frac x3 +5\right) \cos 7x + \frac 1{21} \int \cos 7x \ \mathrm{d}x = -\frac 17 \left( \frac x3 +5\right) \cos 7x + \frac 1{147} \sin 7x +C$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x \cdot \cos(x) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2962
	$x \sin(x) + \cos(x) + C$
	$x \sin(x) - \cos(x) + C$
	$- x \sin(x) + \cos(x) + C$
	$\frac{x^2}2 \sin(x) + \cos(x) + C$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos(x) \ \mathrm{d}x$ $f(x) = x \ , \ g'(x) = \cos(x)$ $f(x) = 1 \ , \ g'(x) = \sin(x)$ $\int x \cdot \cos(x) \ \mathrm{d}x = x \sin(x) - \int \sin(x) \ \mathrm{d}x = x \sin(x) + \cos(x)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int 2x \cdot e^{2x+1} \mathrm{d}x$ Nr. 2901
	$e^{2x+1} \cdot (x-\frac{1}{2}) + C$
	$e^{2x+1} \cdot (x+\frac{1}{2}) + C$
	$e^{2x+1} \cdot (x^2-\frac{1}{2}) + C$
Lösungsweg $\int2 x \cdot e^{2x+1} \mathrm{d}x$ $setze: f(x) =2 x \ ; g'(x) = e^{2x+1}$ $f'(x) = 2 \ ; g(x) = \frac{1}{2} e^{2x+1}$ $\int2 x \cdot e^{2x+1} \mathrm{d}x = 2x \cdot \frac{1}{2} e^{2x+1} - \int 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{2x+1} \mathrm{d}x =$ $x e^{2x+1} - \frac{1}{2} \cdot e^{2x+1} =$ $e^{2x+1} \cdot(x-\frac{1}{2})$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x \cdot \cos \frac x 2 \ \mathrm{d}x$ Nr. 2140
	$4x \sin \frac x2 + \cos\frac x2 +C$
	$2 x \sin \frac x2 + 4 \cos\frac x2 +C$
	$\sin \frac x2 +C$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos \frac x 2 \ \mathrm{d}x$ $\text {setze} u=x \text{, } \mathrm{d}v= \cos \frac {x}{2} \mathrm{d}x$ $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ $v= 2\cdot \sin\frac x2$ $\int x \cdot \cos \frac x 2 \ \mathrm{d}x = x \cdot 2 \sin \frac x2 \ \mathrm{d}x= 2 x \sin \frac x2 - 2 \cdot \int \sin \frac x2 \ \mathrm{d}x=$ $2 x \sin \frac x2 - 2 (-cos\frac x2)2 = 2 x \sin \frac x2 + 4 \cos\frac x2 +C$

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