Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Produktregel.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = x \cdot \ln(x)$ Nr. 2944
	$y'(x) = \ln(x) + 1$
	$y'(x) = \ln(x)$
	$y'(x) = \ln(x) + x^2$
Lösungsweg $y(x) = x \cdot \ln(x)$ $y'(x) = \ln(x) + x \frac1x = \ln(x) + 1$

3 erreichbare Punkte

Bilden Sie die erste Ableitung $y(x) = x \cdot e^x$ Nr. 2889
	$y'(x) = e^x ( 1+x)$
	$y'(x) = e^x$
	$y'(x) = 1+e^x$
Lösungsweg $y(x) = x\cdot e^x \\ y'(x) = e^x + x e^x \\ y'(x) = e^x ( 1+x)$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel und Kettenregel: $y(x) = \tan(x)$ Nr. 2987
	$\frac{1 }{(\cos(x))^2}$
	$\frac{1 }{(\sin(x))^2}$
	$\frac1{(\tan(x))^2}$
Lösungsweg $y(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-1}$ $y'(x) = \cos(x) \cdot (\cos(x))^{-1} + \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-2} \sin(x) = 1 + (\sin(x))^2 \cdot (\cos(x))^{-2} =$ $= \frac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 }{(\cos(x))^2} = \frac{1 }{(\cos(x))^2}$

3 erreichbare Punkte

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = \frac{x^2}{e^x}$ Nr. 2892
	$y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^x}$
	$y'(x) = \frac{2x}{e^x}$
	$y'(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$
	$y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^{2x}}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{x^2}{e^x} \\ y(x) = x^2 \cdot e^{-x} \\ y'(x) = 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x}$ $y'(x) =\frac{ 2x -x^2}{e^x}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie mithilfe der Produktregel die erste Ableitung: $y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2$ Nr. 2946
	$y'(x) = 0$
	$y'(x) = 2\sin(x) + 2\cos(x)$
	$y'(x) = 4\sin(x) \cos(x)$
Lösungsweg $y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2 = \sin(x) \sin(x) + \cos(x) \cos(x)$ $y'(x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) = 0$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die zweite Ableitung von : $y(x) = x^2 e^x$ Nr. 2939
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 2x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot 2$
Lösungsweg $y(x) = e^x x^2$ $y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$ $y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$

3 erreichbare Punkte

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})$ Nr. 1938
	$y'=x^2-\frac{13}{2}x+36$
	$y'=3x^2-13x-\frac{36}{2}$
	$y'=3x^2-13x-33$
	$y'=x^2-\frac{13}{2}x-\frac{33}{2}$
	$y'=3x^2-13x-\frac{33}{2}$
Lösungsweg $y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})$ setze $h(x)= (3-2x)(3+x)=9-3x-x^2 ,\\ g(x)= 4-\frac x2$ $h'(x)=-3-4x \\ g'(x)=-\frac 12$ $y'= h'(x)g(x) + h(x)g'(x) = (-3-4x)(4-\frac x2) + (9-3x-2x^2)(-\frac 12)= 3x^2-13x-\frac {33}{2}$

5 erreichbare Punkte

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)$ Nr. 1936
	$y'=-12x^2+8x-7$
	$y'=6x^2+8x-7$
	$y'=-12x^2+4x-14$
	$y'=12x^2+4x-7$
	$y'=-6x^2+8x-14$
Lösungsweg $y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)$ setze $h(x)= 1-2x$ und $g(x)= 3-x+2x^2$ $h'(x)= -2 \\ g'(x)=4x-1$ $y'=h'(x)g(x)+h(x)g'(x)= -2 (3-x+2x^2)+(1-2x)(4x-1)=-12x^2+8x-7$

5 erreichbare Punkte

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