Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Produktregel.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=3\cdot\sin x\cdot\sin x$ Nr. 1946
	$y'=6\cdot\sin( 2x)\cdot\cos (2x)$
	$y'=6\cdot\sin x\cdot\cos x$
	$y'=3\cdot\sin^2 x$
	$y'=3\cdot\sin (2x)\cdot\cos(2 x)$
	$y'=3\cdot\cos x\cdot\sin x$

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$ Nr. 2943
	$f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})$
	$f'(x) = -e^x \frac2{x^3}$
	$f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x})$
Lösungsweg $f(x) = \frac{e^x}{x^2} = e^x \cdot x^{-2}$ $f'(x) = e^x x^{-2} - 2 e^x x^{-3} = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = e^x \cdot x^2$ Nr. 2938
	$y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$
	$y'(x) = e^x \cdot 2x$
	$y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x)$

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

$y(x) = e^x \cdot x^2$

Nr. 2938

$y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$

$y'(x) = e^x \cdot 2x$

$y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x)$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die zweite Ableitung von : $y(x) = x^2 e^x$ Nr. 2939
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 2x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot 2$
Lösungsweg $y(x) = e^x x^2$ $y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$ $y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$

3 erreichbare Punkte

Drücken Sie y explizit aus und bilden Sie danach die Ableitung $y'(x)$ $xy - x + 2y = - 3$ Nr. 2887
	$y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{2x-1}{(x+2)^2}$
Lösungsweg $xy - x + 2y = - 3 \\ y = \frac{-3+x}{x+2} \\ y = (-3+x) \cdot \frac{1}{x+2}$ $y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{x+2+3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}$

4 erreichbare Punkte

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = \frac{\ln(x) }{x}$ Nr. 2894
	$y'(x) = \frac{1-\ln(x)}{x^2}$
	$y'(x) = \frac{1}{x^2}$
	$y'(x) = \frac{1+ \ln(x)}{x^2}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{\ln(x) }{x} = \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) \cdot x^{-1} \\$ $y'(x) = \frac{1}{x} \cdot x^{-1} + \ln(x) \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\ y'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot \frac{1}{x^2} \\ y'(x) = \frac{1-\ln(x) }{x^2}$

3 erreichbare Punkte

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x$ Nr. 1942
	$y'=-\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=(x-1)\cdot\left(\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=(x^2-1)\sin x-2\cos x$
	$y'=-x\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=-(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
Lösungsweg $y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x$ setze $f(x)= 1-2x+x^2$ und $g(x)= \cos x$ $f'(x)= 0-2+2x$ , $g'(x)=- \sin x$ $y'= (2x-2) \cos x + (1-2x+x^2) (-\sin x)= 2x \cos x - 2\cos x -\sin x +2x \sin x -x^2 \sin x = -(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$

5 erreichbare Punkte

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x$ Hinweis: Verwende zum Vereinfachen trigonometrische Formeln! Nr. 1944
	$y'=\sin (2x)+\cos (2x)$
	$y'=2x\sin x+x\cos x$
	$y'=\sin (2x)+2x\cos (2x)$
	$y'=\sin x-2x\cos x$
	$y'=\sin x+2x\cos x$
Lösungsweg $y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x$ setze $f(x)= 2x , \ g(x)= \sin x , \ h(x) = \cos x$ $f'(x)=2, \ g'(x)= \cos x , \ h'(x)= - \sin x$ $y'= (2 \sin x + 2x \cos x ) \cos x + 2x \sin x (- \sin x)= 2 \sin x \cos x + 2x (\cos^2 x -\sin ^2 x)$ Umformen: $2 \sin x \cos x = \sin (2x)$ , $\cos^2 x - \sin ^2 x = \cos (2x)$ $y'= \sin(2x) + 2x \cos (2x)$

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