Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Statistik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Die Summe aller relativen Häufigkeiten einer Stichprobe vom Umfang n beträgt Nr. 4512
	$1$
	$n$
	$2n$
	$2^n$
Lösungsweg Sei $p_i$ die relative Häufigkeit der Merkmalsausprägung $a_i$ und $h_i$ deren absolute Häufigkeit (d.h. die Anzahl, wie oft diese Ausprägung in der Stichprobe vorkommt). Da die Summe der absoluten Häufigkeiten dem Stichprobenumfang entspricht, gilt für die Summe der relativen Häufigkeiten: $\sum_{i=1}^k p_i = \sum_{i=1}^k a_i/n = 1/n \cdot \sum_{i=1}^k a_i = n/n = 1$

4 erreichbare Punkte

Wahr oder falsch: Der Median berücksichtigt keine "Ausreißer", d.h. außergewöhnlich hohe oder niedrige Werte innerhalb einer Stichprobe. Nr. 4503
	wahr
	falsch
Lösungsweg Die Aussage ist wahr. Der Median (bzw. "Zentralwert") einer geordneten Stichprobe bleibt gleich, auch wenn man beispielsweise den größten Wert der Stichprobe vervielfacht.

2 erreichbare Punkte

Eine Gruppe von 15 Chemikern teilt sich ein Labor. Sechs von ihnen kaufen im Monat jeweils Chemikalien im Wert von 350 Euro, fünf weitere teilen die Labormiete von 2300 Euro zu gleichen Teilen. Ein Chemiker ist pleite und finanziert nichts, die übrigen drei kaufen Zubehör oder Geräte und investieren im Monat so jeweils 400 Euro. Welche Aussage/n ist/sind korrekt? Nr. 1214
	Die Chemiker, die die Miete bezahlen, haben (abgesehen von dem der Nichts zahlt) den besten Deal gemacht.
	Im Durchschnitt zahlt jeder Chemiker exakt 400 Euro im Monat. Die Chemiker, die Zubehör und Geräte kaufen, zahlen also exakt den Durchschnittswert dessen, was alle gemeinsam bezahlen.
	Die Chemiker, die die Miete bezahlen, müssen am tiefsten in die Tasche greifen.
	Da durchschnittlich jeder 353,33 Euro im Monat zahlt, sind die Finanzierungen der Chemikalienkäufer am Fairsten.
	Im Durchschnitt zahlt jeder Chemiker 373,33 Euro im Monat.
Lösungsweg Durchschnitt: $(2300+6\cdot 350 + 3\cdot 400)/15\approx 373,33$ Miete: 2300/5= 460

5 erreichbare Punkte

In einer Prüfung bestehen dreimal so viele Studenten die Prüfung mit einem Vierer, wie Studenten durchfallen. Es werden genauso viele Dreier wie Vierer vergeben. Die Zahl der Noten 1 und 2 entspricht der Zahl der Durchgefallenen, wobei auf vier Zweier ein Einser kommt. Wie ist der Notendurchschnitt? Nr. 1229
	2,915
	3,75
	3,475
	4,0
	4,5
Lösungsweg Man setze die Anzahl der Fünfer mit x an. Dann erhält man für das arithmetische Mittel: $\frac{5\cdot x+ 4\cdot 3x + 3\cdot 3x + 2 \cdot \frac{4}{5} x +1 \cdot \frac{1}{5} x}{x+3x+3x+ \frac{4}{5} x + \frac{1}{5} x}=\frac{139 x}{40x}=3,475$

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Stichprobe 5, 32, 8, 7, 8, 1, 6, 33, 8, 12. Bestimmen Sie den Median dieser Stichprobe! Nr. 4500
	8
	10
	12
	14
Lösungsweg Wir müssen die Stichprobenwerte zunächst der Größe nach ordnen: 1, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 12, 32, 33 Der Stichprobenumfang in n = 10, damit ist der Median das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte der Liste, dies sind 8 und 8. Es gilt also $\tilde x = 8$ .

4 erreichbare Punkte

2/3 der Teilnehmer erhalten am Ende ihres Seminars eine positive Note. Es wird fünfmal die Note 4, viermal die Note 3, zweimal die 2 und einmal eine 1 vergeben. Wie ist der Notendurchschnitt des Seminars? Nr. 1228
	2,98
	3,50
	3,72
	4,13
	Die Angaben der Aufgabe reichen nicht um den Durchschnitt zu berechnen.
Lösungsweg Teilnehmeranzahl: $\frac{12 \cdot 3}{2}=18$ Notendurchschnitt $(6\cdot 5 + 5 \cdot 4 + 4\cdot 3 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1)/18\approx 3,72$

5 erreichbare Punkte

Gegeben sei die Stichprobe 1, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 12, 32, 33. Bestimmen Sie die Varianz und die Standardabweichung dieser Stichprobe! Nr. 4502
	144 und 12
	110 und 10,49
	124,44 und 11,16
Lösungsweg Die Formel für die Varianz lautet: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline x)^2$ Das arithmetische Mittel der Stichprobe ist $\overline x = 12$ . Damit erhalten wir für die Varianz: $s^2 = \frac{1}{9} \cdot ((1-12)^2 + (5-12)^2 + (6-12)^2 + \ldots + (33-12)^2) = \frac{1}{9} \cdot (121 + 49 + 36 + 25 + 16 + 16 + 16 + 400 + 441) = \frac{1}{9} \cdot 1.120 = 124,44$ Die Standardabweichung beträgt somit $s = \sqrt{124,44} = 11,155$ .

3 erreichbare Punkte

Wahr oder falsch: Das 0,5-Quantil $\tilde x_{0,5}$ einer geordneten Stichprobe ist gleich dem Median. Nr. 4504
	falsch
	wahr
Lösungsweg Die Aussage ist wahr. Für beide Kennwerte gilt: Die eine Hälfte der Stichprobenwerte liegt darunter, die andere darüber.

2 erreichbare Punkte

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