Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Textbeispiele.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Zwei Freunde trinken Bier. Freund A trinkt ein Krügerl (0,5 L) über einen Zeitraum von einer Stunde. Freund B trinkt im selben Zeitraum zwei Krügerl. Freund A wiegt 60 kg. Freund B wiegt 80 kg. Freund A wird schneller wieder nüchtern sein. Wie viel länger dauert es bis auch Freund B nüchtern ist? Als Faustregel gilt, dass die Alkoholdehydrogenase pro Stunde etwa 0,1 g Alkohol pro kg Körpergewicht abbaut (Quelle - Österreichische Apothekerkammer). Typischer Weise enthält Bier etwa 4 g Alkohol pro 100 ml Flüssigkeit. Nehmen Sie an, dass die Getränke mit konstanter Geschwindigkeit konsumiert werden. Nr. 3906
	Die Freunde werden gleichzeitig nüchtern.
	Freund B wird 2 h min später nüchtern.
	Freund B wird 1 h & 40 min später nüchtern.
	Freund B wird 50 min später nüchtern.
Lösungsweg Es gibt zwei gegenlaufende Prozesse, die lineare Zufuhr von Alkohol und die lineare Abnahme von Alkohol im Blut durch den Abbau der Leber. $f_A(t) = 20\frac{g}{h} \cdot t - 60 \cdot 0,1 \frac{g}{h} \cdot t \\ f_B(t) =40\frac{g}{h} \cdot t - 80 \cdot 0,1 \frac{g}{h} \cdot t \\$ Dabei gelten diese Gleichungen nur für den Zeitraum von einer Stunde in dem getrunken wird. Nach genau einer Stunde sind die Alkoholspiegel f: $f_A(1h) = 14 \, g \\ f_B(1h) = 32 \, g$ Nach einer Stunde nimmt der Alkoholspiegel weiterhin linear ab. $f_A(t) = 14 \, g- 60 \cdot 0,1\frac{g}{h} \cdot t \\ f_B(t) = 32 \, g - 80 \cdot 0,1 \frac{g}{h} \cdot t$ Durch Nullsetzen findet man: $t (f_A = 0) = 1 h + 14/6 h = 3 \frac{1}{3} h \\ t (f_B = 0) = 1 h + 4 h = 5 h$ Die Differenz beträgt eine Stunde und 40 Minuten.

4 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt haben? Nr. 1439
	Nach 8,8 Jahren
	Nach 10,3 Jahren
	Nach 15 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21 Jahren
Lösungsweg $H(t)=H_0\cdot 1,038^t$ $2H_0=H_0\cdot 1,038^t$ $t=\frac{\ln2}{\ln1,038}\approx 18,5851$

5 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um $3,8%$ pro Jahr. Heute beträgt der Holzbestand $7200m^3$ Man hat vor, in drei Jahren $2000m^3$ zu roden. Wann wird dieser Wald den heutigen Holzbestand wieder erreichen? Nr. 1441
	In 4,7 Jahren
	In 7,7 Jahren
	In 8,6 Jahren
	In 13,4 Jahren
	In 18,6 Jahren
Lösungsweg $H(t)=H_0\cdot 1,038^t$ $\bar{H_0}=H_3-2000=7200\cdot 1,038^3-2000\approx 6052,385$ ...Holzbestand nach Rodung $7200=\bar{H_0}\cdot 1,038^t$ $t=\frac{\ln(7200/\bar{H_0})}{\ln1,038}\approx 4,65545$ $3+4,65545=7,65545$

5 erreichbare Punkte

Die Algendichte in einem Gewässer beträgt am 15. April eines Jahres 400 mg/l und wächst exponentiell. Am 1. Mai desselben Jahres beträgt die Algendichte bereits 700 mg/l. Wie hoch ist die Wachstumsrate pro Tag? Nr. 1417
	3,6%
	18%
	18,3%
	27,7%
	28,3%
Lösungsweg $700=400\cdot a^{16}$ $\sqrt[16]{700/400}=a\approx 1,03559$

5 erreichbare Punkte

Um das Alter von Tierskeletten zu bestimmen, verwendet man die C14 Datierung. C14 ist radioaktiv und zerfällt mit einer Halbwertszeit von = 5760 Jahren. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten $\lambda$ und der Halbwertszeit her. Ist ein Skelett 41473 Jahre alt, beträgt sein C14-Anteil nur noch 6,8 Promille Nach wievielen weiteren Jahren werden nur noch 5 Promille vorhanden sein? Nr. 1430
	In 2555 Jahren
	In 3189 Jahren
	In 5512 Jahren
	In 8214 Jahren
	In 40313 Jahren
Lösungsweg $N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0$ $\lambda\cdot H=\ln 0,5$ $\lambda=\ln 0,5/H\approx -0.000120338052180546$ $0,005=e^{\lambda\cdot t}$ $t=\ln0,005/\lambda \approx 44 028,6$ $\Delta t=44028,6-41 473,4=2555,2$

5 erreichbare Punkte

Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Zu Beginn sind n₀ Bakterien in einer Nährlösung vorhanden. Die durchschnittliche Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Teilungen heißt „Verdopplungszeit T_D“. Wie lautet die Berechnungsformel für n(t) , wobei t und T_D in gleichen Zeiteinheiten gegeben sein sollen? Nr. 1423
	$n(t)=n_0 \cdot 2^{\frac{t}{T_D}}$
	$n(t)= n_0 \cdot 2^{\frac{T_D}{T_D}}$
	$n(t)=2 \cdot n_0$
	$n(t)=t\cdot n_0 \cdot 2^{T_{D}}$
	$n(t)= n_0\cdot 2^{T_{D}}$
Lösungsweg $n(t)=n(0)\cdot a^t$ $n(0)\cdot a^{T_D}=2n(0)$ $a=\sqrt[T_D]{2}$

5 erreichbare Punkte

Von einem exponentiellen Zunahmevorgang einer Population kennt man den Startwert n(0) = 36. Nach 24min beträgt der Populationswert 49. Berechnen Sie die Wachstumskonstante λ Nr. 1421
	$\lambda =0,23 Sekunden$
	$\lambda =23 Sekunden$
	$\lambda =0,0419 min$
	$\lambda = 0,000313 min$
	$\lambda =0,01285 min^{-1}$
Lösungsweg $49=36\cdot e^{\lambda\cdot 24}$ $\lambda=\ln(\sqrt[24]{49/36})\approx 0,01284$

5 erreichbare Punkte

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt $\tau= R\cdot C$ . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung $U_0$ hat sich der Kondensator zum Zeitpunkt $t_1=\tau$ entladen? Nr. 1446
	$u(\tau)=0,37 \cdot U_0$
	$u(\tau)=0,42 \cdot U_0$
	$u(\tau)=0,73 \cdot U_0$
	$u(\tau)=0,88 \cdot U_0$
	$u(\tau)=0,90 \cdot U_0$
Lösungsweg $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $u(\tau) = U_0 \cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}}= U_0 \cdot e^{-1}$ $e^{-1}\approx 0,3679$

5 erreichbare Punkte

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