Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Eigenschaften von Funktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)=x^4, X=\mathbb R$ ? Nr. 419
	Nach oben beschränkt.
	Streng monoton steigend.
	Nach unten beschränkt.
Lösungsweg Beschränkung: $\lim_{x\to\infty} x^4= \infty$ => nach oben unbeschränkt $x^4>0 \forall x\neq0$ => nach unten durch 0 beschränkt Monotonie Für $x_1<x_2$ gilt ${x_1}^4<{x_2}^4 \forall x_1, x_2>0$ , streng monoton steigend aber ${x_1}^4>{x_2}^4 \forall x_1, x_2<0$ , streng monoton fallend

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f:\qquad x\to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}$ Nr. 1640
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(0/-4)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(-4/0)$
	$N(0/0)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(-\frac{1}{4}/0)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(4/0)$
Lösungsweg $f(x)= \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}=\frac{1}{8}x^{3}(x+4)=0$ $\Rightarrow x_{1,2,3}=0,x_4=-4$

5 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)=x^3, X=\mathbb R$ ? Nr. 421
	Nach unten beschränkt.
	Streng monoton steigend.
	Nach oben beschränkt.
Lösungsweg Beschränktheit $\lim_{x\to\infty} x^3 =\infty$ $\lim_{x\to-\infty} x^3 =- \infty$ =>unbeschränkt Monotonie für $x_1 < x_2$ gilt ${x_1}^3<{x_2}^3$ , also streng monoton steigend

3 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ log_4(x)$ ? Nr. 455
	nach oben beschränkt
	nach unten unbeschränkt
	symmetrisch zur y-Achse
	streng monoton steigend
Lösungsweg Beschränktheit $\lim_{x \to \infty} log_4(x) = \infty$ nach oben unbeschränkt $\lim_{x \to 0} log_4(x) = -\infty$ nach unten unbeschränkt Symmetrie x < 0 nicht im Definitionsbereich, also keine Symmetrie Monotonie $x_1< x_2 \Rightarrow log_4(x_1) < log_4(x_2)$

4 erreichbare Punkte

Welche Werte sind Fixwerte der Funktion $/$ f(x)=x^2$ ? Nr. 381
	x=-1
	x=1
	x=0
	x=10
Lösungsweg $x=x^2 \text{ wenn}\\ x=1 \text{ oder } x=0$

4 erreichbare Punkte

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm $y(t)=2\cdot 0,8^{0,75\cdot t}$ beschreiben! Nr. 1398
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen $+\infty$
	$y_{A}=0$
	$y_{A}=t$
Lösungsweg Monotonie $y'(t)=1.5\cdot \ln (0.8) \cdot 0,8^{0.75\cdot t}$ $\ln (0.8) <0$ , alle anderen Faktoren positiv, also $y'(t) <0$ , also monoton fallend Limes $\lim_{t \to \infty} 0.75 t = \infty$ $\lim_{x \to \infty} 0,8^x = 0$ also: $\lim_{t \to \infty} 2\cdot 0,8^{0,75\cdot t} = 0$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktion: $f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4$ Nr. 1639
	$N_1 (-1/0),\;N_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}/0),\;N_3 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}/0)$
	$N(-1/0)$
	Die Funktion besitzt keine reellen Nullstellen.
	$N_1 (-1/0), \;N_2 (-\frac{1+ \sqrt{17}}{2}/0), \;N_3 (-\frac{1 - \sqrt{17}}{2}/0)$
	$N_1 (-1/0), \;N_2 (\frac{-1+ \sqrt{17}}{2}/0), \;N_3 (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}/0)$
Lösungsweg $f(x)= x^3+2x^2-3x-4=0$ Eine Nullstelle durch "Ausprobieren": 0,1 gehen nicht, aber -1 ist eine Lösung. Durch Polynomdivision: $(x^3+2x^2-3x-4):(x+1)=x^2+x-4$ $x_{2,3}=-0,5\pm\sqrt{0,5^2+4}=-0,5\pm\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{-1}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$

5 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion , $/$ f(x)=\sqrt[5]{x}$ , $x \in \mathbb{R}_0^+$ ? Nr. 451
	Nach oben beschränkt.
	Nach unten beschränkt.
	Streng monoton steigend.
	Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Lösungsweg Monotonie $f'(x)=\frac 1{5 \sqrt[5]{x^4}}$ ist immer $\geq 0$ , also streng monoton steigend Beschränktheit Für $x \geq 0$ ist $/$ f(x)=\sqrt[5]{x} \geq 0$ , also nach unten durch 0 beschränkt $\lim_{x \to \infty} \sqrt[5]{x} = \infty$ also nach oben unbeschränkt

4 erreichbare Punkte

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