Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Logarithmusfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	$\approx 38.800 Euro$
	$\approx 42.302 Euro$
	$\approx 43,297 Euro$
	$\approx 50 .312 Euro$
	$\approx 52. 423 Euro$
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}$ $G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177$

5 erreichbare Punkte

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt $\tau= R\cdot C$ . Wie groß ist C, wenn $R =10k \Omega$ beträgt und die Spannung u(t) nach 100 ms auf 5% des Maximalwerts abgefallen ist? Nr. 1448
	$C=1,87\mu F$
	$C=3,34\mu F$
	$C=5,21\mu F$
	$C=7,12\mu F$
	$C=8,5\mu F$
Lösungsweg $u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $u(0,1) = U_0 \cdot e^{-\frac{0,1}{\tau}}= U_0 \cdot 0,05$ $-\frac{0,1}{\tau}=\ln0,05$ $\tau=-\frac{0,1}{\ln0,05}\approx -0,033$ $C=\frac{\tau}{R}\approx -3,338\cdot 10^{-6}$

5 erreichbare Punkte

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $90mv \leq u \leq 830mV$ soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁=500 mV genau? Nr. 1483
	$u_1= 3,42cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze
	$u_1=7,32cm$ links von der oberen Intervallgrenze
	$u_1=9,26cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze
	$u_1=2,74cm$ links von der oberen Intervallgrenze
	$u_1=7,32cm$ rechts von der unteren Intervallgrenze

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. $u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Wie groß ist die Zeitkonstante $\tau$ ? Nr. 1452
	$\tau=\frac{0,005}{ln4}$
	$\tau=\frac{5}{ln4}$
	$\tau=\frac{ln0,005}{t}$
	$\tau=-\frac{ln5}{t}$
	$\tau=-\frac{0,005}{ln4}$
Lösungsweg $u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ $30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}$ $\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}$ $\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607$

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$ die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wann im Zeitabschnitt zwischen 13°° und 18°° beträgt die wirksame Substanz 9mg? Nr. 1465
	Um 14:28 Uhr
	Um 15:23 Uhr
	Um 16:01 Uhr
	Um 16:34 Uhr
	Um 17:21 Uhr
Lösungsweg $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$ $9= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)$ $9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}})= 2^{-\frac{t}{8}}$ $\frac{\ln(9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}}))}{\ln2}= -\frac{t}{8}$ $t\approx 6,3904\hat{=}15.23$

5 erreichbare Punkte

Messwerte sollen auf einer logarithmischen Skala (dekadischer Logarithmus) eingetragen werden. Welchem x auf der logarithmischen Skala entspricht ein Wert von 100? Nr. 3592
	$1\cdot 10^{100}$
	4,6
	2

3 erreichbare Punkte

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich $90mv \leq u \leq 830 mV$ soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Welcher Spannungswert u₃ liegt 5cm rechts von u_A=90 mV? Nr. 1484
	$u_3=98mV$
	$u_3=108mV$
	$u_3=118mV$
	$u_3=189mV$
	$u_3= 227mV$

5 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Nach wie vielen Jahren hat sich ein Anfangskapital K bei einem Zinsfuß von p% verdoppelt? Nr. 1456
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{p%}{100})}$
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{100})}$
	$n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}$
	$n=\frac{p%}{ln(1+\frac{ln2}{100})}$
	$n=\frac{100}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}$
Lösungsweg $2K = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ $2=\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ $\frac{\ln2}{\ln\left(1+ \frac{p}{100}\right)}=n$

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