Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 6°° eine Dosis von 40mg des Medikaments, um 11°° 30mg und um 15°° 50mg zu sich. Angenommen die zeitliche Abhängigkeit der Substanz wird beschrieben durch \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) - wieviel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 14°°in sich? Nr. 1467
	n(14:00)=31,89mg
	n(14:00)=32,89mg
	n(14:00)= 43,13mg
	n(14:00)= 44,62mg
	n(14:00)= 58,07mg
Lösungsweg \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50\cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(8)= 2^{-\frac{8}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (8) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (8-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))\) \(= 2^{-1} \cdot (40 \cdot 1 +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot 1+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(\approx 43,133\)

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt um 9⁰⁰ eine Tablette von 1,5g und um 15⁰⁰ eine weitere Tablette eines bestimmten Medikaments ein. Dieses Medikament besitzt eine biologische Halbwertszeit von 6 Stunden. Wie viel Gramm wirksamer Substanz befinden sich um 12⁰⁰ im Körper des Patienten? Nr. 1459
	1,016g
	1,061g
	1,069g
	1,096g
	1,196g
Lösungsweg \(N(t)=N_0\cdot 0,5^{t/6}\) \(N(3)=1,5\cdot 0,5^{3/6}\approx 1.06066\)

5 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdreifacht haben? Nr. 1440
	Nach 15,9 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21,3 Jahren
	Nach 25,9 Jahren
	Nach 29,5 Jahren
Lösungsweg \(H(t)=H_0\cdot 1,038^t\) \(3H_0=H_0\cdot 1,038^t\) \(t=\frac{\ln3}{\ln1,038}\approx 29,4567\)

5 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Nach wie vielen Jahren hat sich ein Anfangskapital K bei einem Zinsfuß von p% verdoppelt? Nr. 1456
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{p%}{100})}\)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{100})}\)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
	\(n=\frac{p%}{ln(1+\frac{ln2}{100})}\)
	\(n=\frac{100}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
Lösungsweg \(2K = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(2=\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(\frac{\ln2}{\ln\left(1+ \frac{p}{100}\right)}=n\)

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Ab wann beträgt die Abweichung vom theoretischen Endwert weniger als 1%? Nr. 1454
	ab \(t_1=15,5ms\)
	ab \(t_1=15,8ms\)
	ab \(t_1=18,5ms\)
	ab \(t_1=18,8ms\)
	ab \(t_1=21,3ms\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\) \( 150\cdot 0,99= 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01= 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01/120=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln( 150\cdot 0,01/120)=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-{\tau}\cdot {\ln( 0,05/4)}={\tau}\cdot {\ln(400/5)}={\tau}\cdot {\ln(80)} \approx 0,0158048\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Wie lautet das Wachstumsgesetz n(t)? Nr. 1426
	\(n(t)=48113 \cdot 3^{0,5\cdot t}\)
	\(n(t)=48113 \cdot e^{0,5493 \cdot t}\)
	\(n(t) =48113 \cdot e^{\frac{ln3}{2} \cdot t}\)
	\(n(t)=48113 \cdot (e^{ln3})^{ 0,5\cdot t}\)
	\(n(t)=48113 \cdot 3^e \cdot t\)
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}=3^{0,5}\) Zur Beschreibung mit Wachstumskonstante und Basis e: \(e^{\lambda}=3^{0,5}\) \(\lambda=0,5\ln3\approx 0,5493\)

5 erreichbare Punkte

Eine Größe x vermehrt sich von x₀ ausgehend pro Millisekunde um 3%. Auf das Wievielfache des Ausgangswertes x₀ hat sich x₀ nach 0,5s vermehrt? Nr. 1415
	Nach 0,5s beträgt die Menge das 1,2fache der Ausgangsmenge
	Nach 500ms beträgt die Menge das 515fache der Ausgangsmenge
	Nach 0,5s beträgt die Menge das 2621fache der Ausgangsmenge
	Nach 50ms beträgt die Menge das 4,4fache der Ausgangsmenge.
	Nach 500ms beträgt die Menge das 2 621 877fache der Ausgangsmenge.
Lösungsweg \(1,03^{500}\)

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 6°° eine Dosis von 40mg des Medikaments, um 11°° 30mg und um 15°° 50mg zu sich. Angenommen die zeitliche Abhängigkeit der Substanz wird beschrieben durch \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+80 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) - wieviel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 20°°in sich? Nr. 1468
	n(20:00)= 43,13mg
	n(20:00)= 47,71mg
	n(20:00)= 51,83mg
	n(20:00)= 58,07mg
	n(20:00)= 59,23mh
Lösungsweg \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (t) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (t-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(14)= 2^{-\frac{14}{8}} \cdot (40 \cdot \sigma (14) +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot \sigma (14-5)+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (14-9))\) \(= 2^{-\frac{14}{8}} \cdot (40 \cdot 1 +30 \cdot 2^{\frac{5}{8}} \cdot 1+50 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 1)\) \(\approx 58,068\)

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