Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdreifacht haben? Nr. 1440
	Nach 15,9 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21,3 Jahren
	Nach 25,9 Jahren
	Nach 29,5 Jahren
Lösungsweg \(H(t)=H_0\cdot 1,038^t\) \(3H_0=H_0\cdot 1,038^t\) \(t=\frac{\ln3}{\ln1,038}\approx 29,4567\)

5 erreichbare Punkte

Ein Computervirus vermehrt sich von einem einzigen Computer ausgehend exponentiell im Netz. Wie lange dauert es, bis die Anzahl der infizierten Systeme 30 000 000 beträgt, wenn sich die Anzahl der infizierten Systeme im Schnitt alle 4 Stunden verfünffacht? Nr. 1443
	35h
	37,5h
	42,8h
	47,3h
	53,7h
Lösungsweg \(n(t)=n_0\cdot 5^{t/4}\)...t in Stunden \(30000000=1\cdot 5^{t/4}\) \(t=4\cdot\frac{\ln30000000}{\ln5}\approx 42,789\)

5 erreichbare Punkte

Jemand legt ein Kapital K auf ein Sparbuch. Nach fünf Jahren ist das Kapital auf 60 220 € und nach weiteren fünf Jahren auf 80 588 € angewachsen. Wie groß ist der Zinsfuß p und welcher Betrag wurde ursprünglich eingelegt? ( Ganzjährige Kapitalisierung vorausgesetzt.) Nr. 1442
	Der Zinsfuß beträgt 3,5% und der ursprüngliche Betrag 50 000 Euro
	Der Zinsfuß beträgt 3,5% und der ursprüngliche Betrag 52 000 Euro
	Der Zinsfuß beträgt 3,5% und der ursprüngliche Betrag 55 000 Euro
	Der Zinsfuß beträgt 6% und der ursprüngliche Betrag 45 000 Euro
	Der Zinsfuß beträgt 6% und der ursprüngliche Betrag 50 000 Euro
Lösungsweg \(K(t)=K_0\cdot (1+p)^t\) \( 80 588=60 220\cdot(1+p)^5\) \(\sqrt[5]{80 588/60 220}-1=p\approx 0,060\) \(60220=K_0\cdot (1+p)^5\) \(K_0=60220/(1+p)^5 \approx 44999,856\)

5 erreichbare Punkte

Die Algendichte in einem Gewässer beträgt am 15. April eines Jahres 400 mg/l und wächst exponentiell. Am 1. Mai desselben Jahres beträgt die Algendichte bereits 700 mg/l. Wann wird die kritische Dichte von 5000 mg/l überschritten? Nr. 1419
	nach 38 Tagen
	nach 57,3 Tagen
	nach 72,2 Tagen
	nach 75 Tagen
	nach 83,2 Tagen
Lösungsweg \(700=400\cdot a^{16}\) \(a=\sqrt[16]{700/400}\) \(5000=400\cdot a^t\) \(\log_a (a^t)=t=\frac{\ln(5000/400)}{\ln a}\approx 72,2123\)

5 erreichbare Punkte

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm \(y(t)=93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t}\) beschreiben! Nr. 1399
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen \(+\infty\)
	\(y_{A}=0\)
	\(y_{A}=42\)
Lösungsweg Monotonie y'(t) ist negativ für alle t, also fallend Limes \(\lim_{t \to \infty} -0,75\cdot t = -\infty\) \(\lim_{x \to -\infty} 1,42^x =0\) also \(\lim_{t \to \infty} 93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t} =0\)

5 erreichbare Punkte

Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt \(\tau= R\cdot C\) . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung \(U_0\) hat sich der Kondensator zum Zeitpunkt \(t_1=\tau\) entladen? Nr. 1446
	\(u(\tau)=0,37 \cdot U_0\)
	\(u(\tau)=0,42 \cdot U_0\)
	\(u(\tau)=0,73 \cdot U_0\)
	\(u(\tau)=0,88 \cdot U_0\)
	\(u(\tau)=0,90 \cdot U_0\)
Lösungsweg \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(u(\tau) = U_0 \cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}}= U_0 \cdot e^{-1}\) \(e^{-1}\approx 0,3679\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Wann werden 10⁶ Bakterien vorhanden sein? Nr. 1428
	Nach 3,521 Tagen
	Nach 5 Tagen
	Nach 5,524 Tagen
	Nach 6,721 Tagen
	Nach 7,621 Tagen
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}\) \(10^6=250000\cdot a^{t-3}\) \(t-3=\frac{\ln(10^6/250000)}{\ln\sqrt{3}}\) \(t=\frac{\ln4}{\ln\sqrt{3}}+3\approx 5,5237\)

5 erreichbare Punkte

Ein Kondensator wird von 30V auf 150V aufgeladen. Die Kondensatorspannung nähert sich dabei asymptotisch (exponentiell) dem Endwert von 150V. \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) Nach 5ms beträgt die Spannung 120V. Ab wann beträgt die Abweichung vom theoretischen Endwert weniger als 1%? Nr. 1454
	ab \(t_1=15,5ms\)
	ab \(t_1=15,8ms\)
	ab \(t_1=18,5ms\)
	ab \(t_1=18,8ms\)
	ab \(t_1=21,3ms\)
Lösungsweg \( u(t) = 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(30/120 = e^{-\frac{0,005}{\tau}}\) \(\ln30/120 =-\frac{0,005}{\tau}\) \(\tau =-\frac{0,005}{\ln(1/4)}=\frac{0,005}{\ln(4)}\approx 0,003607\) \( 150\cdot 0,99= 150- 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01= 120 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \( 150\cdot 0,01/120=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln( 150\cdot 0,01/120)=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-{\tau}\cdot {\ln( 0,05/4)}={\tau}\cdot {\ln(400/5)}={\tau}\cdot {\ln(80)} \approx 0,0158048\)

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