Die Spannung beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand wird durch die Formel \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) beschrieben. Für die Zeitkonstante gilt \(\tau= R\cdot C\) . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung \(U_0\) hat sich der Kondensator zum Zeitpunkt \(t_2=5\tau\) entladen? Nr. 1447
	\(u(5\tau)=0,25 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,025 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,017 \cdot U_0\)
	\(u(5\tau)=0,0125 \cdot U_0\)
	\( u(5\tau)=0,007 \cdot U_0\)
Lösungsweg \(u(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(u(t_2) = U_0 \cdot e^{-\frac{5\tau}{\tau}}= U_0 \cdot e^{-5}\) \(e^{-5}\approx 0,00674\)

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt haben? Nr. 1439
	Nach 8,8 Jahren
	Nach 10,3 Jahren
	Nach 15 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21 Jahren
Lösungsweg \(H(t)=H_0\cdot 1,038^t\) \(2H_0=H_0\cdot 1,038^t\) \(t=\frac{\ln2}{\ln1,038}\approx 18,5851\)

Von einem exponentiellen Zunahmevorgang einer Population kennt man den Startwert n(0) = 36. Nach 24min beträgt der Populationswert 49. Berechnen Sie die prozentuelle Zunahme pro Zeiteinheit. Nr. 1422
	p%=1,293%
	p%=5,912%
	p%=12,09%
	p%=18,23%
	p%=23,41%
Lösungsweg \(49=36\cdot a^{24}\) \(a=\sqrt[24]{49/36}\approx 1,012929\)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	\(\approx 38.800 Euro\)
	\(\approx 42.302 Euro\)
	\(\approx 43,297 Euro\)
	\(\approx 50 .312 Euro\)
	\( \approx 52. 423 Euro\)
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}\) \(G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177\)

Der Luftdruck nimmt mit steigender Höhe ab. Er sinkt näherungsweise bei einer Höhenzunahme von 5,54 km stets auf etwa die Hälfte ab. Auf Meeresniveau soll er p₀ betragen. Um wie viel Prozent nimmt der Luftdruck alle 100m ab? Nr. 1438
	0,98%
	1,2%
	5,2%
	21,8%
	42%
Lösungsweg \(p(h)= p_0 \cdot 0,5^{\frac{h}{5,54km}}\) \(x\cdot p_0= p_0 \cdot 0,5^{\frac{0,1}{5,54km}}\) \(x=0,5^{\frac{0,1}{5,54km}}\approx 0,9876\) \(1-0,9876=0,0124\)

Um das Alter von Tierskeletten zu bestimmen, verwendet man die C14 Datierung. C14 ist radioaktiv und zerfällt mit einer Halbwertszeit von = 5760 Jahren. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten \(\lambda \) und der Halbwertszeit her. Wie alt ist ein Tierskelett, wenn sein heutiger C14– Anteil nur noch 6,8 Promille beträgt? Nr. 1429
	Das Skelett müsste 414 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 414,7 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 4147 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 4147,3 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 41473 Jahre alt sein.
Lösungsweg \(N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0\) \(\lambda\cdot H=\ln 0,5\) \(\lambda=\ln 0,5/H\approx -0.000120338052180546\) \(0,0068=e^{\lambda\cdot t}\) \(t=\ln0,0068/\lambda \approx 41 473,4\)

Mit Hilfe der C–14 Methode lässt sich das Alter eines organischen Fundes berechnen. Das Isotop C–14 reichert sich in Pflanzen, Menschen und Tieren durch den Stoffwechsel zu Lebzeit auf einen bestimmten Wert an und zerfällt nach deren Tod mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Wie groß war eine C–14 Menge von derzeit 21g vor 3000 Jahren? Nr. 1434
	\(n_0= 28,8g\)
	\(n_0= 30,2g\)
	\(n_0= 35g\)
	\(n_0= 42g\)
	\(n_0= 42,7g\)
Lösungsweg \(N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0\) \(\lambda\cdot H=\ln 0,5\) \(\lambda=\ln 0,5/H\approx -0,000120968\) \(N_0\cdot e^{\lambda\cdot 3000}=21\) \(N_0=\frac{21}{e^{\lambda\cdot 3000}}\approx 30,1875\)

Die Spannung u_C(t) beim Aufladen eines Kondensators von 0V auf U₀ wird durch die Formel \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) beschrieben. Für die Zeitkonstante \(\tau\) gilt\( \tau=R \cdot C\) . Zu welchem Zeitpunkt hat sich der Kondensator auf 99% der Maximalspannung aufgeladen, wenn\( R =1k\Omega\) und \(C=1\mu F\) beträgt? Nr. 1450
	t= 4,61 ms
	t= 46,1 ms
	t=4,61 s
	t=46,1 s
	t=461 s
Lösungsweg \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) \(0,99U_0= U_0 \cdot ( 1-e^{-\frac{t}{\tau}})\) \(0,01=e^{-\frac{t}{\tau}}\) \(\ln0,01=-\frac{t}{\tau}\) \(t=-\ln0,01\cdot\tau=-\ln0,01\cdot R\cdot C=-\ln0,01\cdot 10^3\cdot 10^{-6}\approx 0,004605\)

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