Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Eine Größe x vermehrt sich von x₀ ausgehend pro Millisekunde um 3%. Auf das Wievielfache des Ausgangswertes x₀ hat sich x₀ nach 0,5s vermehrt? Nr. 1415
	Nach 0,5s beträgt die Menge das 1,2fache der Ausgangsmenge
	Nach 500ms beträgt die Menge das 515fache der Ausgangsmenge
	Nach 0,5s beträgt die Menge das 2621fache der Ausgangsmenge
	Nach 50ms beträgt die Menge das 4,4fache der Ausgangsmenge.
	Nach 500ms beträgt die Menge das 2 621 877fache der Ausgangsmenge.
Lösungsweg \(1,03^{500}\)

5 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Nach wie vielen Jahren hat sich ein Anfangskapital K bei einem Zinsfuß von p% verdoppelt? Nr. 1456
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{p%}{100})}\)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{100})}\)
	\(n=\frac{ln2}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
	\(n=\frac{p%}{ln(1+\frac{ln2}{100})}\)
	\(n=\frac{100}{ln(1+\frac{ln2}{p%})}\)
Lösungsweg \(2K = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(2=\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) \(\frac{\ln2}{\ln\left(1+ \frac{p}{100}\right)}=n\)

5 erreichbare Punkte

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm \(y(t)=2\cdot 0,8^{0,75\cdot t}\) beschreiben! Nr. 1398
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen \(+\infty\)
	\(y_{A}=0\)
	\(y_{A}=t\)
Lösungsweg Monotonie \(y'(t)=1.5\cdot \ln (0.8) \cdot 0,8^{0.75\cdot t}\) \(\ln (0.8) <0\), alle anderen Faktoren positiv, also \(y'(t) <0\), also monoton fallend Limes \(\lim_{t \to \infty} 0.75 t = \infty\) \(\lim_{x \to \infty} 0,8^x = 0\) also: \(\lim_{t \to \infty} 2\cdot 0,8^{0,75\cdot t} = 0\)

5 erreichbare Punkte

Von einem exponentiellen Zunahmevorgang einer Population kennt man den Startwert n(0) = 36. Nach 24min beträgt der Populationswert 49. Berechnen Sie die prozentuelle Zunahme pro Zeiteinheit. Nr. 1422
	p%=1,293%
	p%=5,912%
	p%=12,09%
	p%=18,23%
	p%=23,41%
Lösungsweg \(49=36\cdot a^{24}\) \(a=\sqrt[24]{49/36}\approx 1,012929\)

5 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist ein Guthaben nach 6 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 25 000Euro mit 4% verzinst wird? Nr. 1455
	27 325 Euro
	27 833 Euro
	28 173 Euro
	31 633 Euro
	32 325 Euro
Lösungsweg \(G(6) = 25000 \cdot \left(1+ \frac{4}{100}\right)^6\approx 31632,975\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Wann werden 10⁶ Bakterien vorhanden sein? Nr. 1428
	Nach 3,521 Tagen
	Nach 5 Tagen
	Nach 5,524 Tagen
	Nach 6,721 Tagen
	Nach 7,621 Tagen
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}\) \(10^6=250000\cdot a^{t-3}\) \(t-3=\frac{\ln(10^6/250000)}{\ln\sqrt{3}}\) \(t=\frac{\ln4}{\ln\sqrt{3}}+3\approx 5,5237\)

5 erreichbare Punkte

Die Spannung u_C(t) beim Aufladen eines Kondensators von 0V auf U₀ wird durch die Formel \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) beschrieben. Für die Zeitkonstante \(\tau\) gilt \(\tau=R \cdot C\) . Auf wie viel Prozent der Maximalspannung \(U_0\) ist der Kondensator zum Zeitpunkt \(t=\tau \)aufgeladen? Nr. 1449
	auf 35,67% der Maximalspannung
	auf 37% der Maximalspannung
	auf 56% der Maximalspannung
	auf 63% der Maximalspannung
	auf 73% der Maximalspannung
Lösungsweg \(u_C (t)= U_0 \cdot \left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)\) \(u_C (\tau)= U_0 \cdot ( 1-e^{-\frac{\tau}{\tau}})=U_0 \cdot (1-e^{-1})\) \((1-e^{-1})\approx 0,6321\)

5 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt haben? Nr. 1439
	Nach 8,8 Jahren
	Nach 10,3 Jahren
	Nach 15 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21 Jahren
Lösungsweg \(H(t)=H_0\cdot 1,038^t\) \(2H_0=H_0\cdot 1,038^t\) \(t=\frac{\ln2}{\ln1,038}\approx 18,5851\)

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