Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm $y(t)=93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t}$ beschreiben! Nr. 1399
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen $+\infty$
	$y_{A}=0$
	$y_{A}=42$
Lösungsweg Monotonie y'(t) ist negativ für alle t, also fallend Limes $\lim_{t \to \infty} -0,75\cdot t = -\infty$ $\lim_{x \to -\infty} 1,42^x =0$ also $\lim_{t \to \infty} 93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t} =0$

5 erreichbare Punkte

Der Holzbestand eines Waldes wächst erfahrungsgemäß um 3,8% pro Jahr. Nach wie vielen Jahren wird er sich verdoppelt haben? Nr. 1439
	Nach 8,8 Jahren
	Nach 10,3 Jahren
	Nach 15 Jahren
	Nach 18,6 Jahren
	Nach 21 Jahren
Lösungsweg $H(t)=H_0\cdot 1,038^t$ $2H_0=H_0\cdot 1,038^t$ $t=\frac{\ln2}{\ln1,038}\approx 18,5851$

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) $die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wie viel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 17°° in sich? Nr. 1463
	n(17:00)= 9,03mg
	n(17:00)=8,47mg
	n(17:00)=7,83mg
	n(17:00)=5,09mg
	n(17:00)=3,47mg
Lösungsweg $n(t)=2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))$ $n(8)=2^{-\frac{8}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (8-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))$ $=2^{-1} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot \sigma (4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (-1))$ $=2^{-1} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)$ $\approx 7.82842$

5 erreichbare Punkte

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm $y(t)=2\cdot 0,8^{0,75\cdot t}$ beschreiben! Nr. 1398
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen $+\infty$
	$y_{A}=0$
	$y_{A}=t$
Lösungsweg Monotonie $y'(t)=1.5\cdot \ln (0.8) \cdot 0,8^{0.75\cdot t}$ $\ln (0.8) <0$, alle anderen Faktoren positiv, also $y'(t) <0$, also monoton fallend Limes $\lim_{t \to \infty} 0.75 t = \infty$ $\lim_{x \to \infty} 0,8^x = 0$ also: $\lim_{t \to \infty} 2\cdot 0,8^{0,75\cdot t} = 0$

5 erreichbare Punkte

Mit Hilfe der C–14 Methode lässt sich das Alter eines organischen Fundes berechnen. Das Isotop C–14 reichert sich in Pflanzen, Menschen und Tieren durch den Stoffwechsel zu Lebzeit auf einen bestimmten Wert an und zerfällt nach deren Tod mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Beschreiben Sie das Zerfallsgesetz mit Hilfe der natürlichen Basis e. Berechnen Sie die Zerfallskonstante $\lambda$. Nr. 1431
	$\lambda=1,21 \cdot 10^{-4} a^{-1}$
	$\lambda=2 \cdot 10^{-4} a^{-1}$
	$\lambda=2 \cdot 10^{-4,12} a^{-1}$
	$\lambda=2 \cdot 10^{-4,12} a^{-2}$
	$\lambda=2,1 \cdot 10^{-4,12} a^{-2}$
Lösungsweg $N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0$ $\lambda\cdot H=\ln 0,5$ $\lambda=\ln 0,5/H\approx -0,000120968$

5 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Eigenschaften hat die Funktion $/$ f(x)=\left(\frac{4}{10} \right)^x$? Nr. 453
	nach oben unbeschränkt
	streng monoton steigend
	punktsymmetrisch zum Ursprung
	nach unten beschränkt
Lösungsweg Beschränktheit $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4}{10} \right)^x = \infty$ also nach oben unbeschränkt $\left(\frac{4}{10} \right)^x >0 \forall x$ also nach unten durch 0 beschränkt Monotonie für $x_1 < x_2$ $\left(\frac{4}{10} \right)^{x_1} > \left(\frac{4}{10} \right)^{x_2}$ also streng monoton fallend Symmetrie streng monoton fallend, also nicht achsensymmetrisch $\left(\frac{4}{10} \right)^x >0 \forall x$ also nicht punktsymetrisch

4 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n$ Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	$\approx 38.800 Euro$
	$\approx 42.302 Euro$
	$\approx 43,297 Euro$
	$\approx 50 .312 Euro$
	$ \approx 52. 423 Euro$
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: $G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}$ $G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177$

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) $die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wie viel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 24°° in sich? Nr. 1464
	n(24:00)=7,83mg
	n(24:00)=8,29mg
	n(24:00)=8,89mg
	n(24:00)=9,03mg
	n(24:00)=14,21mg
Lösungsweg $n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) $ $n(15)= 2^{-\frac{15}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (15) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (15-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (15-9)) $ $= 2^{-\frac{15}{8}} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 1) $ $\approx 9.0253$

5 erreichbare Punkte

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Auch in diesem Semester für alle FHTW Studierenen wieder verfügbar: Der Mathe-Support

Mathematik lernen ist eine Herausforderung, vor allem im Eigenstudium! Sie tun sich schwer beim Lesen von mathematischen Skripten oder kommen bei den Übungsaufgaben nicht weiter? Vielleicht wollen Sie auch einfach nicht alleine, sondern lieber in einer Gruppe lernen? Dann kommen Sie zum Mathe-Support!

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Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

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Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm \(y(t)=93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t}\) beschreiben! Nr. 1399
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen \(+\infty\)
	\(y_{A}=0\)
	\(y_{A}=42\)
Lösungsweg Monotonie y'(t) ist negativ für alle t, also fallend Limes \(\lim_{t \to \infty} -0,75\cdot t = -\infty\) \(\lim_{x \to -\infty} 1,42^x =0\) also \(\lim_{t \to \infty} 93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t} =0\)

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm \(y(t)=2\cdot 0,8^{0,75\cdot t}\) beschreiben! Nr. 1398
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen \(+\infty\)
	\(y_{A}=0\)
	\(y_{A}=t\)
Lösungsweg Monotonie \(y'(t)=1.5\cdot \ln (0.8) \cdot 0,8^{0.75\cdot t}\) \(\ln (0.8) <0\), alle anderen Faktoren positiv, also \(y'(t) <0\), also monoton fallend Limes \(\lim_{t \to \infty} 0.75 t = \infty\) \(\lim_{x \to \infty} 0,8^x = 0\) also: \(\lim_{t \to \infty} 2\cdot 0,8^{0,75\cdot t} = 0\)

Mit Hilfe der C–14 Methode lässt sich das Alter eines organischen Fundes berechnen. Das Isotop C–14 reichert sich in Pflanzen, Menschen und Tieren durch den Stoffwechsel zu Lebzeit auf einen bestimmten Wert an und zerfällt nach deren Tod mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Beschreiben Sie das Zerfallsgesetz mit Hilfe der natürlichen Basis e. Berechnen Sie die Zerfallskonstante \(\lambda\). Nr. 1431
	\(\lambda=1,21 \cdot 10^{-4} a^{-1}\)
	\(\lambda=2 \cdot 10^{-4} a^{-1}\)
	\(\lambda=2 \cdot 10^{-4,12} a^{-1}\)
	\(\lambda=2 \cdot 10^{-4,12} a^{-2}\)
	\(\lambda=2,1 \cdot 10^{-4,12} a^{-2}\)
Lösungsweg \(N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0\) \(\lambda\cdot H=\ln 0,5\) \(\lambda=\ln 0,5/H\approx -0,000120968\)

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	\(\approx 38.800 Euro\)
	\(\approx 42.302 Euro\)
	\(\approx 43,297 Euro\)
	\(\approx 50 .312 Euro\)
	\( \approx 52. 423 Euro\)
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}\) \(G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177\)

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