Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Exponentialfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9)) \)die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wie viel Milligramm wirksamer Substanz hat der Patient um 17°° in sich? Nr. 1463
	n(17:00)= 9,03mg
	n(17:00)=8,47mg
	n(17:00)=7,83mg
	n(17:00)=5,09mg
	n(17:00)=3,47mg
Lösungsweg \(n(t)=2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(n(8)=2^{-\frac{8}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (8-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (8-9))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot \sigma (8) + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot \sigma (4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (-1))\) \(=2^{-1} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(\approx 7.82842\)

5 erreichbare Punkte

Markieren Sie die Eigenschaften, die den Funktionsterm \(y(t)=93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t}\) beschreiben! Nr. 1399
	Die Funktion ist steigend
	Die Funktion ist fallend
	Es exisitert eine Asymptote für t geht gegen \(+\infty\)
	\(y_{A}=0\)
	\(y_{A}=42\)
Lösungsweg Monotonie y'(t) ist negativ für alle t, also fallend Limes \(\lim_{t \to \infty} -0,75\cdot t = -\infty\) \(\lim_{x \to -\infty} 1,42^x =0\) also \(\lim_{t \to \infty} 93\cdot 1,42^{-0,75\cdot t} =0\)

5 erreichbare Punkte

Ein Patient nimmt ein Medikament ein, dessen „ biologische Halbwertszeit “ acht Stunden beträgt. Der Patient nimmt um 9°° eine Dosis von 10mg des Medikaments , um 13°° 4mg und um 18°° 8mg zu sich. Bedenkt man, dass die Formel \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) die zeitliche Abhängigkeit der wirksamen Substanz beschreibt - wann im Zeitabschnitt zwischen 13°° und 18°° beträgt die wirksame Substanz 9mg? Nr. 1465
	Um 14:28 Uhr
	Um 15:23 Uhr
	Um 16:01 Uhr
	Um 16:34 Uhr
	Um 17:21 Uhr
Lösungsweg \(n(t)= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot \sigma (t) + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot \sigma (t-4)+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot \sigma (t-9))\) \(9= 2^{-\frac{t}{8}} \cdot (10 \cdot 1 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}} \cdot 1+8 \cdot 2^{\frac{9}{8}} \cdot 0)\) \(9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}})= 2^{-\frac{t}{8}}\) \(\frac{\ln(9/ (10 + 4 \cdot 2^{\frac{4}{8}}))}{\ln2}= -\frac{t}{8}\) \(t\approx 6,3904\hat{=}15.23\)

5 erreichbare Punkte

Die Verzinsung eines Anfangskapitals K erfolgt mit einem Zinsfuß von p % p.a. D.h. wird ein Anfangskapital K zu Jahresbeginn eingelegt, so werden die Zinsen immer nach einem Jahr auf das Kapital aufgeschlagen. ( Die KEST soll bereits berücksichtigt sein.) Das Guthaben G wächst somit nach n Jahren an auf: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n\) Wie groß ist ein Guthaben nach 5 Jahren, wenn ein Anfangskapital von 50 000€ mit 3,5% verzinst wird und jeweils zu Jahresbeginn immer 3000€ abgehoben werden? Insgesamt erfolgen 5 Behebungen. Nr. 1457
	\(\approx 38.800 Euro\)
	\(\approx 42.302 Euro\)
	\(\approx 43,297 Euro\)
	\(\approx 50 .312 Euro\)
	\( \approx 52. 423 Euro\)
Lösungsweg Durch einige Überlegungen kommt man auf folgende Formel für das Gesamtkapital bei jährlich gleichbleibenden Abhebungen: \(G(n) = K \cdot \left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-x\cdot \frac{\left(1+ \frac{p}{100}\right)^n-1}{\left(1+ \frac{p}{100}\right)-1}\) \(G(5) = 50000 \cdot \left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-3000\cdot \frac{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)^5-1}{\left(1+ \frac{3,5}{100}\right)-1}\approx 43296.9177\)

5 erreichbare Punkte

Eine logarithmisch geteilte Spannungsskala für den Bereich \(1 mV \leq u \leq 700mV\)soll auf einer Länge von L = 12cm dargestellt werden. Wo liegt u₁ = 580 mV genau? Nr. 1477
	\( u_1= 7,98cm\)
	\(u_1= 7,82cm\)
	\(u_1= 9,87cm\)
	\(u_1= 11,7cm\)
	\(u_1= 11,8cm\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Wann werden 10⁶ Bakterien vorhanden sein? Nr. 1428
	Nach 3,521 Tagen
	Nach 5 Tagen
	Nach 5,524 Tagen
	Nach 6,721 Tagen
	Nach 7,621 Tagen
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}\) \(10^6=250000\cdot a^{t-3}\) \(t-3=\frac{\ln(10^6/250000)}{\ln\sqrt{3}}\) \(t=\frac{\ln4}{\ln\sqrt{3}}+3\approx 5,5237\)

5 erreichbare Punkte

Um das Alter von Tierskeletten zu bestimmen, verwendet man die C14 Datierung. C14 ist radioaktiv und zerfällt mit einer Halbwertszeit von = 5760 Jahren. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten \(\lambda \) und der Halbwertszeit her. Wie alt ist ein Tierskelett, wenn sein heutiger C14– Anteil nur noch 6,8 Promille beträgt? Nr. 1429
	Das Skelett müsste 414 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 414,7 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 4147 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 4147,3 Jahre alt sein.
	Das Skelett müsste 41473 Jahre alt sein.
Lösungsweg \(N_0\cdot e^{\lambda\cdot H}=0,5N_0\) \(\lambda\cdot H=\ln 0,5\) \(\lambda=\ln 0,5/H\approx -0.000120338052180546\) \(0,0068=e^{\lambda\cdot t}\) \(t=\ln0,0068/\lambda \approx 41 473,4\)

5 erreichbare Punkte

Das Wachstum einer Bakterienkultur werde für einen bestimmten Zeitraum als exponentiell angenommen. Nach drei Tagen sind 250 000 Bakterien, nach fünf Tagen 750 000 Bakterien vorhanden. Um wie viel Prozent vermehren sich die Bakterien pro Tag? Nr. 1427
	25% pro Tag
	52,4% pro Tag
	73,2% pro Tag
	75% pro Tag
	83% pro Tag
Lösungsweg \(750000=250000\cdot a^2\) \(a=\sqrt{750000/250000}=\sqrt{3}\approx 1,73205\)

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