Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 5 Fragen zu Polynomfunktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktion: $f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4$ Nr. 1639
	$N_1 (-1/0),\;N_2 (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}/0),\;N_3 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2}/0)$
	$N(-1/0)$
	Die Funktion besitzt keine reellen Nullstellen.
	$N_1 (-1/0), \;N_2 (-\frac{1+ \sqrt{17}}{2}/0), \;N_3 (-\frac{1 - \sqrt{17}}{2}/0)$
	$N_1 (-1/0), \;N_2 (\frac{-1+ \sqrt{17}}{2}/0), \;N_3 (\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}/0)$
Lösungsweg $f(x)= x^3+2x^2-3x-4=0$ Eine Nullstelle durch "Ausprobieren": 0,1 gehen nicht, aber -1 ist eine Lösung. Durch Polynomdivision: $(x^3+2x^2-3x-4):(x+1)=x^2+x-4$ $x_{2,3}=-0,5\pm\sqrt{0,5^2+4}=-0,5\pm\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{-1}{2}\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$

5 erreichbare Punkte

Welche Werte sind Fixwerte der Funktion $/$ f(x)=x^2-x-3$ ? Nr. 384
	$x=3$
	$x=0$
	$x=1$
	$x=-1$
Lösungsweg $x=x^2-x-3 \\ 0=x^2-2x-3$ $x_{1,2}=1\pm \sqrt{1+3}$ $x_1=3\\ x_2=-1$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f:\qquad x\to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}$ Nr. 1640
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(0/-4)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(-4/0)$
	$N(0/0)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(-\frac{1}{4}/0)$
	$N_1(0/0), N_2(0/0), N_3(0/0), N_4(4/0)$
Lösungsweg $f(x)= \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}=\frac{1}{8}x^{3}(x+4)=0$ $\Rightarrow x_{1,2,3}=0,x_4=-4$

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist eine Polynomfunktion 3. Grades folgender Form: $x\to P_{3}(x)=x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}$ Berechnen Sie die fehlenden Polynomkoeffizienten des Polynoms, wenn man weiß: $P_{3}(1)=-4, \qquad P_{3}(2)=6, \qquad P_{3}(3)=32$ Nr. 1546
	$P_{3}(x)=x^{3}-4\cdot x^{2}+6\cdot x-1$
	$P_{3}(x)=x^{3}+2\cdot x^{2}-3\cdot x-1$
	$P_{3}(x)=x^{3}+2\cdot x^{2}-3\cdot x-4$
	$P_{3}(x)=x^{3}-3\cdot x^{2}-4\cdot x-6$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} I:\qquad 1+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-4\\ \vspace{5}\\ II:\qquad 8+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=6\\ \vspace{5}\\ III:\qquad 27+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I:\qquad a_{2}+a_{1}+a_{0}=-5\\ \vspace{5}\\ II:\qquad 4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=-2\\ \vspace{5}\\ III:\qquad 9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II-I:\qquad 3a_{2}+a_{1}=3\\ \vspace{5}\\ III-I:\qquad 8a_{2}+2a_{1}=10\\ \vspace{5}\\ 2a_{2}=4 \qquad \Rightarrow \qquad a_{2}=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3\cdot 2+a_{1}=3 \qquad \Rightarrow \qquad a_{1}=-3\\ \vspace{5}\\ 1+2-3+a_{0}=-4 \Rightarrow \qquad a_{0}=-4\\ \vspace{5}\\ P_{3}(x)=x^{3}+2\cdot x^{2}-3\cdot x-4 \end{eqnarray}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$ Nr. 1626
	$\begin{eqnarray} N_1(-1/0)\\ N_2(-3/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} N_1(-1/0)\\ N_2(-1/0)\\ N_3(-4/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} N_1(0/-1)\\ N_2(0/-1)\\ N_3(0/-4) \end{eqnarray}$
	Die Funktion besitzt keine Nullstellen.
Lösungsweg $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4=0$ Eine Nullstelle durch "Ausprobieren": 0, 1 gehen nicht, aber -1 erfüllt die Gleichung. Durch Polynomdivision: $(x^{3}+6x^{2}+9x+4):(x+1)=x^2+5x+4$ $x_{2,3}=-2,5\pm\sqrt{2,5^2-4}=-2,5\pm 1,5$ $x_1=-1, x_2=-1, x_3=-4$

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