\(P(X \leq 3)=P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} \approx 0,421 = 42,1%\)

Wir suchen das 0,5-Quantil, also den Median: Für welches x nimmt F(x) den Wert 0,5 an?

Aus \(F(x) = 1-e^{-3x} = 0,5\) folgt \(x = -\frac{1}{3} \cdot ln (0,5) = 0,23\), d.h. nach knapp 3 Monaten ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ausgefallen.

Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(5+25+30) =20\)

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(31+33+36)=33\frac{1}{3} \approx 33,3\)

Wir suchen den Erwartungswert für die Kosten der Störungsbehebung, diese betragen 1000 X. Es gilt:
\(E(1000 X) = 1000 E(X) = 1000 \cdot (0,3 \cdot 0 + 0,4 \cdot 1 + 0,2 \cdot 2 + 0,1 \cdot 3) = 1000 \cdot 1,1 = 1100\)
Im Schnitt ist pro Tag also mit Kosten von 1100 Euro für die Behebung von Störungen zu rechnen.

Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_i\) ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die \(X_i\) nicht normalverteilt zu sein!

Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

Wenn 90% der Abfüllgewichte innerhalb des Intervalls [200-c; 200+c] liegen sollen, dann liegen links von 200-c und rechts von 200+c jeweils 5% aller Abfüllgewichte. Wir suchen also die Quantile \(x_{0,05}\) und \(x_{0,95}\), welche wir mittels der Quantile \(z_{0,05}\) bzw. \(z_{0,95}\) der Standardnormalverteilung berechnen (bzw. der Tabelle entnehmen). Wegen der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung gilt außerdem \(z_p = -z_{1-p}\):

\(x_{0,05} = \sigma \cdot z_{0,05} + \mu = \sigma \cdot (- z_{0,95}) + \mu = 5 \cdot (-1,645) + 200 = 191,775 \\ x_{0,95} = \sigma \cdot z_{0,95} + \mu = 5 \cdot 1,645 + 200 = 208,225\)
90% aller Abfüllgewichte liegen also im Bereich zwischen 191,78 und 208,22 Gramm (c = 8,225).

Alternativer Lösungsweg:

Wir suchen den Wert c, für den die Verteilungsfunktion an der Stelle 200+c den Wert 0,95 annimmt (denn das heißt, dass 95% der Abfüllgewichte kleiner oder gleich 200 + c sind): F(200+c) = 0,95

Auch hier nutzen wir wieder die Umrechnung auf die Standardnormalverteilung, damit wir die Tabelle verwenden können: \(F(x) = \Phi( \frac{x-\mu}{\sigma} ) = \Phi( \frac{x-200}{5} ) = 0,95\)

Setzt man x=200+c ein, so folgt \(\Phi(\frac{c}{5}) = 0,95\). Der Tabelle entnehmen wir c/5 = 1,645, somit ist c = 8,225 und das gesuchte Intervall lautet [191,78; 208,22].