\(F(1) = 1-e^{-3} = 0,95\)

Standardabweichung.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ \mu = E(X)= \sum x_i P_i = 500\cdot \frac{18}{37} + (-500)\cdot \frac{19}{37} \approx -13,5 \\\)

\(\sigma^2 = Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i = (500 + 13,5)^2 \cdot \frac{18}{37} + (-500 + 13,5)^2 \cdot \frac{19}{37} \approx 249 817,38 \Rightarrow \\ \sigma = \sqrt(Var(X))\approx 500\)

Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der ersten Münze", \(X_2\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der zweiten Münze" und \(X_3\) die Zufallsvariable "Anzahl der Köpfe beim Wurf der dritten Münze". Dann gilt \(Var(X_1) = Var(X_2) = Var(X_3) = 0,25\) . Da diese drei Zufallsvariablen unabhängig sind, ist \(Var(Y) = Var(X_1 + X_2 + X_3) = Var(X_1) + Var(X_2) + Var(X_3) = 0,75\).

Alternativer Lösungsweg:

Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung, die Formel für die Varianz lautet daher: \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 3 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,75 \)

Varianz für disktrete Zufallsvariablen.

\(Var(X)= \sum(x_i- \mu)^2p_i = \\ \frac{1}{3}((0-33,3)^2+(1-33,3)^2+(99-33,3)^2) \approx 2156,2\)

Die Augenzahl eines jeden Würfels ist unabhängig von der Augenzahl der beiden anderen Würfel, und sie kann nur endlich viele Werte annehmen. Die drei Zufallsvariablen sind also unabhängig und diskret.

Es handelt sich hier um eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N=24, M=6 und n=4, also H(4;6;24). Folglich gilt \(P(X=x) = \frac{ {6 \choose x} \cdot {18 \choose 4-x}}{ {24 \choose 4} }\) und \(P(X=1) = \frac{ {6 \choose 1} \cdot {18 \choose 3}}{ {24 \choose 4} } = \frac{816}{1771} = 0,46076\).

Für den Erwartungswert gilt bei einer hypergeometrischen Verteilung \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N}\), in diesem Fall also \(E(X) = 4 \cdot \frac{6}{24} = 1\).

Alternativer Lösungsweg zur Berechnung von P(X=1):

Es gibt \({4 \choose 1} = 4\) Möglichkeiten für die Position der roten Kugel innerhalb der Stichprobe. Beim ersten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu erwischen, 6/24 (denn 6 von 24 Kugeln sind rot). Beim zweiten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 18/23 (denn es sind noch 23 Kugeln in der Urne, davon 18 blaue). Beim dritten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel zu erwischen, 17/22 (denn es sind noch 22 Kugeln in der Urne, davon 17 blaue), usw. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also: \(P(X=1) = {4 \choose 1} \cdot \frac{6}{24} \cdot \frac{18}{23} \cdot \frac{17}{22} \cdot \frac{16}{21} = \frac{816}{1771}\)

\(P(X > 2) = 1-P(X \leq 2) = 1-F(2) = 1-(1-e^{-6}) = e^{-6} = 0,0025\)

Varianz für disktrete Zufallsvariablen.

\(Var(X)= \sum(x_i- \mu)^2p_i = \\ \frac{1}{3} ((25-33,3)^2+(30-33,3)^2+(45-33,3)^2) \approx 72,2\)