Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Zufallsvariablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ihre Summe X+Y Nr. 4601
	standardnormalverteilt
	normalverteilt
	normalverteilt, wenn X und Y unabhängig sind
	normalverteilt, wenn X und Y abhängig sind
Lösungsweg Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso (Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

4 erreichbare Punkte

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Welche Ausssagen sind (unter gewissen Voraussetzungen) korrekt? Nr. 4575
	Die Dichtefunktion erhält man durch Ableitung der Verteilungsfunktion.
	Die Dichtefunktion erhält man durch Integration der Verteilungsfunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Ableitung der Dichtefunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Integration der Dichtefunktion.
Lösungsweg Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion. Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

4 erreichbare Punkte

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Bushaltestelle kommt. Welche Aussagen sind korrekt? Nr. 4570
	X kann den Wert jeder reellen Zahl zwischen 0 und 15 annehmen.
	X ist eine diskrete Zufallsvariable.
	X kann nur die Werte 0, 1, 2, 3, ..., 14 oder 15 annehmen.
	X ist eine stetige Zufallsvariable.
Lösungsweg X ist eine stetige Zufallsvariable. Als Wartezeit in Minuten kommt jede reelle Zahl zwischen 0 und 15 infrage.

4 erreichbare Punkte

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie \(P(X \leq 6)\), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme ist kleiner oder gleich 6"! Nr. 4552
	20/216
	35/216
	56/216
	84/216
Lösungsweg Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 3, 4, 5 oder 6 ist:\(P(X \leq 6) = F(6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{1+3+6+10}{216} = \frac{20}{216}\) Es gibt 1 Möglichkeit für Augensumme 3: 1-1-1 Es gibt 3 Möglichkeiten für Augensumme 4: 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1 Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1 Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2

4 erreichbare Punkte

Wahr oder falsch: Der Erwartungswert gewichtet alle Werte einer Zufallsvariablen X gleich. Nr. 4581
	Wahr.
	Das hängt von der Definition der Zufallsvariablen ab.
	Das gilt nur für diskrete Zufallsvariable.
	Falsch.
Lösungsweg Die Aussage ist falsch. Um den Erwartungswert zu ermitteln, werden die Werte der Zufallsvariablen mit ihren Wahrscheinlichkeiten (bzw. der Dichtefunktion) multipliziert. Dadurch werden Werte, die eine höhere Wahrscheinlichkeit haben, stärker gewichtet als solche mit einer geringen Wahrscheinlichkeit.

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x) im Bereich 0<x<6! Nr. 4563
	\(F(x) = \frac{x}{6}\)
	\(F(x) = \frac{6}{x}\)
	\(F(x) = \frac{x^2}{6}\)
	\(F(x) = \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.

4 erreichbare Punkte

Für diskrete Zufallsvariablen hat die Verteilungsfunktion immer die Form Nr. 4558
	einer Treppe
	eines Dreiecks
	eines Rechtecks
	einer Geraden
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion F(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt, und ist damit monoton wachsend von 0 bis 1. Sie ist für alle reellen Zahlen x definiert. Für diskrete Zufallsvariablen hat die Verteilungsfunktion immer die Form einer ansteigenden Treppe. Die "Stufen" sind an der Stelle, wo x einen der möglichen Werte \(x_i\) der Zufallsvariablen annimmt, und sie haben jeweils die Höhe der zugehörigen Wahrscheinlichkeit \(p_i\).

4 erreichbare Punkte

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4572
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

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