Erwartungswert.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ E(X)= \sum x_i P_i = 500\cdot \frac{18}{37} + (-500)\cdot \frac{19}{37} \approx -13,5\)

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(25+30+45)=33\frac{1}{3} \approx 33,3\)

\(F(1) = 1-e^{-3} = 0,95\)

Die Aussage ist falsch. Um den Erwartungswert zu ermitteln, werden die Werte der Zufallsvariablen mit ihren Wahrscheinlichkeiten (bzw. der Dichtefunktion) multipliziert. Dadurch werden Werte, die eine höhere Wahrscheinlichkeit haben, stärker gewichtet als solche mit einer geringen Wahrscheinlichkeit.

Erwartungswert.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ E(X)= 100 \cdot \sum x_i P_i = 100 \cdot (1 \cdot \frac{18}{37} + (-1)\cdot \frac{19}{37}) \approx -2,7 \)

Das geht, weil der Erwartungswert linear ist.

Sei X die Zufallsvariable "Gewinn beim Glücksspiel = ausbezahlter Betrag minus Einsatz". Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=99) = 2/216 und P(X=-1) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 99 + \frac{214}{216} \cdot (-1) = - \frac{16}{216} \approx -0,074\)
Man verliert also langfristig; im Mittel 7,4 Cent pro Spiel.

Sei X die Zufallsvariable "ausbezahlter Betrag" (ohne Berücksichtigung des Einsatzes). Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=100) = 2/216 und P(X=0) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 100 = \frac{200}{216} \approx 0,926 = 1-0,074\)
Der Erwartungswert für den ausbezahlten Betrag liegt also unter dem Einsatz, d.h. man zahlt langfristig mehr, als man bekommt.

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\) und \(P(X \geq x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)\) (*). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 10) = 1-F(10) = 1-\frac{10}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

(*) Anmerkung: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, exakt einen vorgegebenen Wert x anzunehmen,
gleich Null; daraus folgt \(P(X \leq x) = P(X < x)\) und \(P(X \geq x) = P(X > x)\).

Sei \(X_1\) die Zufallsvariable "Augensumme beim Wurf des ersten Würfels" und \(X_2\) die Zufallsvariable "Augensumme beim Wurf des zweiten Würfels". Beide können jeweils die Werte von 1 bis 6 annehmen mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6, d.h. die Erwartungswerte sind \(E(X_1) = E(X_2) = \frac{1}{6} \cdot (1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3,5\). Die Summe der Erwartungswerte von \(X_1\) und \(X_2\) entspricht dem gesuchten Erwartungswert der Summe der beiden Zufallsvariablen, d.h. es gilt: \(E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 3,5 + 3,5 = 7\)

Alternativer Lösungsweg 1:
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (siehe Bild); diese ist symmetrisch um den Wert \(x_i = 7\): Es gibt 1 Möglichkeit für die Augensumme 2 bzw. 12, nämlich 1-1 bzw. 6-6; es gibt 2 Möglichkeiten für die Augensumme 3 bzw. 11, nämlich 1-2 und 2-1 bzw. 5-6 und 6-5, usw. Somit gilt E(X) = 7.

Alternativer Lösungsweg 2:
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X (siehe Bild) und berechnen daraus den Erwartungswert:
\(E(X) = \frac{1}{36} \cdot (2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 5 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 3 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 1) = \frac{1}{36} \cdot 252 = 7 \)