Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung: Wir ziehen n-mal (ohne Zurücklegen) aus einer unendlichen Grundgesamtheit bei konstanter Warscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt (Ziehen eines fehlerhaften Bauteils). Das Ziehen eines Elementes beeinflusst den Rest der Grundgesamtheit nicht, d.h. die Bedingungen bei jedem Ziehen sind gleich -- im Gegensatz zur hypergeometrischen Verteilung, bei der sich nach jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit ändert.

Bei einer Gleichverteilung haben alle möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeit, das ist hier nicht der Fall (die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil in der Stichprobe ist, entspricht in der Regel nicht der Wahrscheinlichkeit, dass alle n Bauteile der Stichprobe fehlerhaft sind).

Bei einer Poissonverteilung kann die Zufallsvariable unendlich viele verschiedene Werte annehmen, auch das ist hier nicht der Fall, denn X ist hier durch die (endliche) Stichprobengröße n beschränkt.

Der Zusammenhang E(X + Y)= E(X) + E(Y) gilt immer!

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

Die Wahrscheinlichkeit, gleich beim ersten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 1/6.
Die Wahrscheinlichkeit, erst beim zweiten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten Wurf, Sechs beim zweiten Wurf).
Die Wahrscheinlichkeit, erst beim dritten Wurf eine Sechs zu werfen, ist 5/6 mal 5/6 mal 1/6 (keine Sechs beim ersten und zweiten Wurf, Sechs beim dritten Wurf).
Die Wahrscheinlichkeit, erst beim x-ten Wurf eine Sechs zu werfen, ist \(\left\(\frac{5}{6}\right\)^{x-1} \cdot \frac{1}{6}\) (keine Sechs in den ersten x-1 Würfen, Sechs beim x-ten Wurf).

Folglich gilt:
\(p_i = P(X=i) = \left\(\frac{5}{6}\right\)^{i-1} \cdot \frac{1}{6}\)

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(0+1+99)=33\frac{1}{3} \approx 33,3\)

Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen:

\(E(X)=\sum g(x_i)p_i = \frac{1}{3}(5+25+30) =20\)

Standardabweichung.

\(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ \mu = E(X)= \sum x_i P_i = 10\cdot \frac{18}{37} + (-10)\cdot \frac{19}{37} \approx -0,27 \\\)

\(\sigma^2 = Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i = (10 + 0,27)^2 \cdot \frac{18}{37} + (-10 + 0,27)^2 \cdot \frac{19}{37} \approx 99,93 \Rightarrow \sigma \approx 10\)

Je größer der Stichprobenumfang wird, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert der Stichprobe in ein beliebig kleines Intervall um den Erwartungswert fällt: Der Mittelwert konvergiert stochastisch gegen den Erwartungswert. Werfen wir beispielsweise sehr oft einen fairen Würfel (Erwartungswert 3,5) und notieren die Augenzahl nach jedem Wurf, so wird das arithmetische Mittel der bisher geworfenen Augenzahlen sich immer stärker um 3,5 konzentrieren. Es kann trotzdem immer wieder Ausreißer geben (z.B. fünfmal hintereinander eine Eins), wir können also nicht sicher sein, dass der Mittelwert ab einer genügend großen Wurfanzahl beliebig nahe an den Erwartungswert herankommt (daher sind Aussage 1 und 5 falsch).