Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Zufallsvariablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Wann ist der Erwartungswert des Produkts zweier Zufallsvariablen gleich dem Produkt der Erwartungswerte, d.h. wann gilt \(E(X \cdot Y)= E(X) \cdot E(Y)\)? Nr. 4587
	nur dann, wenn X und Y unabhängig sind
	nur dann, wenn X und Y abhängig sind
	nur dann, wenn X und Y diskret sind
	immer
Lösungsweg Der Zusammenhang \(E(X \cdot Y)= E(X) \cdot E(Y)\) gilt nur dann, wenn X und Y unabhängig sind!

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0,2 und 0,5 annimmt! Nr. 4565
	0
	0,05
	0,1
	0,5
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

4 erreichbare Punkte

Was sagt der zentrale Grenzwertsatz über die Summe \(X = X_1 + ... + X_n\) von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_1, ..., X_n\)? Nr. 4602
	X ist für \(n \rightarrow \infty\) normalverteilt.
	X ist für große n genau dann normalverteilt, wenn alle \(X_i\) normalverteilt sind.
	Das arithmetische Mittel \(\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n} X\) ist für \(n \rightarrow \infty\) normalverteilt.
	Das hängt von der konkreten Verteilung der \(X_i\) ab.
Lösungsweg Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_i\) ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die \(X_i\) nicht normalverteilt zu sein! Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

4 erreichbare Punkte

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4572
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

4 erreichbare Punkte

Seien X und Y zwei Zufallsvariable und Cov(X;Y) ihre Kovarianz. Welche Aussagen sind wahr? Nr. 4589
	Wenn X und Y unabhängig sind, gilt Cov(X;Y) = 0.
	Wenn Cov(X;Y) = 0 gilt, sind X und Y unabhängig.
	Wenn Cov(X;Y) = 0 gilt, sind X und Y unkorreliert.
	Wenn X und Y unabhängig sind, gilt Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y).
Lösungsweg Alle Aussagen bis auf die zweite sind korrekt: Aus Cov(X;Y) = 0 folgt nicht, dass X und Y unabhängig sind, sondern nur, dass sie unkorreliert sind. Es kann also durchaus sein, dass Cov(X;Y) = 0 gilt und somit X, Y unkorreliert sind, aber dennoch abhängig. Die Kovarianz erfasst (ähnlich wie bei der beschreibenden Statistik) lediglich die lineare Komponente des Zusammenhangs zwischen X und Y.

4 erreichbare Punkte

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen? Nr. 4559
	\(\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\)
	\(\mathbb{N}\)
	\(\mathbb{R}\)
	\(\left[0; \ \infty)\)
Lösungsweg X kann den Wert jeder natürlichen Zahl annehmen, also 1, 2, 3, usw. Eine obere Grenze können wir nicht festlegen, da es theoretisch 10, 100 oder auch 1000 Würfe dauern kann, bis zum ersten Mal eine Sechs fällt (auch wenn die Wahrscheinlichkeit für sehr hohe X sehr klein ist).

4 erreichbare Punkte

Eine Fertigungsanlage hat einen gleichbleibenden Ausschuss-Anteil von 0,5%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 entnommenen Produktionseinheiten höchstens ein fehlerhaftes? Berechnen Sie die Lösung exakt sowie als Näherung durch die Poisson-Verteilung! Nr. 4594
	0,8102 und 0,8098
	0,6102 und 0,6098
	0,9102 und 0,9098
	0,7102 und 0,7098
Lösungsweg Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung mit n=100 und p=0,005, es gilt also \(P(X = x) = {100 \choose x} \cdot 0,005^x \cdot 0,995^{100-x}\): \(P(X=0) = {100 \choose 0} \cdot 0,005^0 \cdot 0,995^{100} = 0,995^{100} = 0,6058 \\ P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,005^1 \cdot 0,995^{99} = 0,3044\) Damit ist \(P(X \leq 1) = 0,9102\). Für eine binomialverteilte Zufallsvariable kann man für "große n und kleine p" näherungsweise die Poisson-Verteilung mit Parameter \(\lambda = np = 0,5\) verwenden: \(P(X=0) = e^{-0,5} = 0,6065 \\ P(X=1) = -0,5 e^{-0,5} = 0,3033\) Damit ist näherungsweise \(P(X \leq 1) = 0,9098\).

4 erreichbare Punkte

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz. Wie hoch ist das Risiko (die Standardabweichung), wenn der Spieler bei einem Spiel 500 € setzt? Nr. 3744
	500 €
	250 €
	50 €
	25 €
	2,7 €
Lösungsweg Standardabweichung. \(P(rot)=\frac{18}{37} \\ P(\overline{rot})=\frac{19}{37} \\ \mu = E(X)= \sum x_i P_i = 500\cdot \frac{18}{37} + (-500)\cdot \frac{19}{37} \approx -13,5 \\\) \(\sigma^2 = Var(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot p_i = (500 + 13,5)^2 \cdot \frac{18}{37} + (-500 + 13,5)^2 \cdot \frac{19}{37} \approx 249 817,38 \Rightarrow \\ \sigma = \sqrt(Var(X))\approx 500\)

5 erreichbare Punkte

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