Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Könige und 2 der 4 Asse)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 } = \frac{36}{270725} \approx 0,000133\)

Alternativer Lösungsweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, beträgt 4/52 (denn es sind alle vier Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte ein Ass ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Karte ein König ist, beträgt 4/50 (denn es sind alle vier Könige im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte Karte ein König ist, beträgt 3/49 (denn es sind noch drei Könige im Stapel).
Weiterhin gibt es \({4 \choose 2} = 6\) Möglichkeiten für die Reihenfolge der beiden Asse und Könige (AAKK, AKAK, AKKA, KAAK, KAKA, KKAA).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 0,000133\).

Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Binomialverteilung.

\(P(X \geq 4)= P(X=4) + P(X=5)= \)

\((\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 \cdot {5 \choose 4} + (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \)\(\approx 0,0453 = 4,53%\)

Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335!\) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad und \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,72=72%\)

Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 der 4 Asse)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 4}}{{52 \choose 4}} = \frac{1}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\), das sind ca. 0,00037%.

Alternativer Lösungsweg:

Die Wahrscheinlichkeit für das erste Ass ist 4/52, für das zweite 3/51, für das dritte 2/50 und für das vierte 1/49, insgesamt also \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\).

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \geq 5)=P(k=5)=\frac{{5 \choose 5} \cdot {7 \choose 0}}{12 \choose 5}} \approx 0,00126 = 0,126%\)