Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k=3)=\frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,442 = 44,2%\)

Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 der 4 Asse)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 4}}{{52 \choose 4}} = \frac{1}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\), das sind ca. 0,00037%.

Alternativer Lösungsweg:

Die Wahrscheinlichkeit für das erste Ass ist 4/52, für das zweite 3/51, für das dritte 2/50 und für das vierte 1/49, insgesamt also \(\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 3,7 \cdot 10^{-4}\).

Wenn 6 der 80 Glühbirnen defekt sind, funktionieren die restlichen 74 Stück. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass alle der acht entnommenen Birnen funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{74}{80}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{73}{79}\), denn es sind noch 79 Birnen vorhanden, von denen 73 funktionieren. Folglich erhalten wir: \(P = \frac{74}{80} \cdot \frac{73}{79} \cdot \frac{72}{78} \cdot \frac{71}{77} \cdot \frac{70}{76}\cdot \frac{69}{75} \cdot \frac{68}{74} \cdot \frac{67}{73} \approx 0,52\)

Etwas eleganter lässt sich die Lösung auch so schreiben:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}\) (wir ziehen zufällig 8 der 74 funktionierenden Glühbirnen und keine der 6 defekten)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({80 \choose 8}\) (wir ziehen zufällig 8 aus 80 Glühbirnen)
Damit gilt: \(P = \frac{{74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}}{{80 \choose 8}} \approx 0,52\)

Bayes.

\(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok|A)=0,98\\ P(ok|B)=0,97\\ P(ok|C)=0,96\\\)

\(P(A)\cdot P(\overline{ok}|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}|C)=0,028=2,8%\)

\(P(C|\overline{ok})=\frac{P(C) \cdot P(\overline{ok}|C)}{P(\overline{ok})}=\\ \frac{0,25 \cdot 0,04}{0,028} \approx 0,357 = 35,7%\)

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme 7" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1) günstig, da die Auganzahl hier Sieben beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

Binomialverteilung.

\(P(X=5)=(\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0041 = 0,41%\)