Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \geq 5)=P(k=5)=\frac{{5 \choose 5} \cdot {7 \choose 0}}{12 \choose 5}} \approx 0,00126 = 0,126%\)

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad und \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,72=72%\)

Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993\)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736\)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.

Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Binomialverteilung.

\(P(X=0) = {50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} = 0,364 = 36,4%\)

Es gibt \(2^5 = 32\) Möglichkeiten, wie die fünf Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge).
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal Kopf fällt, ist \(P(1K) = \frac{{5 \choose 1}}{2^5} = \frac{5}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal Kopf fällt, ist \(P(2K) = \frac{{5 \choose 2}}{2^5} = \frac{10}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal Kopf fällt, ist \(P(3K) = \frac{{5 \choose 3}}{2^5} = \frac{10}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass viermal Kopf fällt, ist \(P(4K) = \frac{{5 \choose 4}}{2^5} = \frac{5}{32}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass fünfmal Kopf fällt, ist \(P(5K) = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten und beträgt folglich \(\frac{31}{32}\).

Alternativer Lösungsweg: Es ist wesentlich einfacher, die Lösung über die Gegenwahrscheinlichkeit zu ermitteln, d.h. die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei fünf Würfen kein einziges Mal Kopf (und somit fünfmal Zahl) fällt. Diese Wahrscheinlichkeit ist \(P(5Z) = \frac{{5 \choose 0}}{2^5} = \frac{{5 \choose 5}}{2^5} = \frac{1}{32}\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1 - P(5Z) = \frac{31}{32}\).

Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\).

Alternativer Lösungsweg:
Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.