Wir verwenden dazu den Satz von Bayes:

M1 ... faire Münze: P(K)=0,5; P(Z)=0,5
M2 ... unfaire Münze: P(K)=0,1; P(Z)=0,9

\(P(M1| K) = \frac{P(K|M1) \cdot P(M1)}{P(K)} \approx 0,83 = 83,3%\)

 wobei \(P(K|M_1)=0,5; \qquad P(M_1)=0,5; \qquad P(K)=0,3 \)  ist. 

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k=3)=\frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,442 = 44,2%\)

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme 7" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1) günstig, da die Auganzahl hier Sieben beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

Bayes.

\(P(T_{pos}|Tris)=0,92 \\ P(T_{neg}|\overline{Tris})=0,9 \\ P(Tris)=\frac{1}{800}=0,00125\)

\(P(Tris|T_{pos})=\frac{P(T_{pos}|Tris) \cdot P(Tris)}{P(T_{pos})}=\)

\(\frac{P(T_{pos}|Tris) \cdot P(Tris)}{P(Tris) \cdot P(T_{pos}|Tris) + P(\overline{Tris}) \cdot P(T_{pos}|\overline{Tris})} \approx 0,0114 = 1,14%\)

Binomialverteilung.

\(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(=1) + P(X=2) =\)

\({50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} + {50 \choose 1}\cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{49} + {50 \choose 2}\cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{48} =\\ 0,364 + 0,371 + 0,185 = 0,92 = 92%\)

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme mindestens 10" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5) und (6,6) günstig, da die Auganzahl hier mindestens 10 beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad und \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,72=72%\)