Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993\)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736\)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.

Totale Wahrscheinlichkeit.

\(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok|A)=0,98\\ P(ok|B)=0,97\\ P(ok|C)=0,96\\\)

\(P(X)=P(\overline{ok})=\)

\(P(A)\cdot P(\overline{ok}|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}|C)=0,028=2,8%\)

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95
Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg|G) = 0,99
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos|G) = 0,01
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos|K) = 0,98
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg|K) = 0,02

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(G|pos), dass eine Person gesund ist, unter der Bedingung, dass sie positiv getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt:
\(P(G|pos) = \frac{P(G) \cdot P(pos|G)}{P(G) \cdot P(pos|G) + P(K) \cdot P(pos|K)} = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,05 \cdot 0,98} \approx 0,1624\)

Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch positives Testergebnis liegt also bei 16%.

Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335!\) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Bayes.

\(P(S)=P(A)P(S|A) + P(B)P(B|S) + P(C)P(C|S) \approx 0,119\\ P(B|S)=\frac{P(B)\cdot P(S|B)}{P(S)} \approx 0,252 = 25,2%\)

Folgende Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
Wahrscheinlichkeit, gesund (d.h. nicht mit dem Virus infiziert) zu sein: P(G) = 0,95
Wahrscheinlichkeit, krank (d.h. mit dem Virus infiziert) zu sein: P(K) = 0,05
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person korrekt als gesund erkennt (d.h. negativ ausfällt): P(neg|G) = 0,99
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine gesunde Person fälschlich für krank hält (d.h. positiv ausfällt): P(pos|G) = 0,01
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person korrekt als krank erkennt (d.h. positiv ausfällt): P(pos|K) = 0,98
Wahrscheinlichkeit, dass der Test eine kranke Person fälschlich für gesund hält (d.h. negativ ausfällt): P(neg|K) = 0,02

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(K|neg), dass eine Person krank ist, unter der Bedingung, dass sie negativ getestet wurde. Aus dem Satz von Bayes folgt (wegen \(\overline K = G\)):
\(P(K|neg) = \frac{P(K) \cdot P(neg|K)}{P(K) \cdot P(neg|K) + P(G) \cdot P(neg|G)} = \frac{0,05 \cdot 0,02}{0,05 \cdot 0,02 + 0,95 \cdot 0,99} \approx 0,001062\)

Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch negatives Testergebnis liegt also bei 0,1%.