Binomialverteilung.

\(P(X=3)={(\frac{7}{12})^3}\cdot{(\frac{5}{12})^2} \cdot {5 \choose 3} \approx 0,3446 = 34,46%\)

Es gibt \(2^4 = 16\) Möglichkeiten, wie die vier Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge). Jede davon ist gleich wahrscheinlich. Außerdem gibt es \({4 \choose 2} = 6\) Möglichkeiten für die Reihenfolge, wenn zweimal Kopf bzw. Zahl fällt (KKZZ, KZKZ, KZZK, ZKKZ, ZKZK, ZZKK). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt folglich \(\frac{{4 \choose 2}}{2^4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}\).

Wenn 6 der 80 Glühbirnen defekt sind, funktionieren die restlichen 74 Stück. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass alle der acht entnommenen Birnen funktionieren. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{74}{80}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite gezogene Glühbirne funktioniert, ist \(\frac{73}{79}\), denn es sind noch 79 Birnen vorhanden, von denen 73 funktionieren. Folglich erhalten wir: \(P = \frac{74}{80} \cdot \frac{73}{79} \cdot \frac{72}{78} \cdot \frac{71}{77} \cdot \frac{70}{76}\cdot \frac{69}{75} \cdot \frac{68}{74} \cdot \frac{67}{73} \approx 0,52\)

Etwas eleganter lässt sich die Lösung auch so schreiben:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}\) (wir ziehen zufällig 8 der 74 funktionierenden Glühbirnen und keine der 6 defekten)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({80 \choose 8}\) (wir ziehen zufällig 8 aus 80 Glühbirnen)
Damit gilt: \(P = \frac{{74 \choose 8} \cdot {6 \choose 0}}{{80 \choose 8}} \approx 0,52\)

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad oder \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(\overline{T_{2ok}}) + P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(T_{2ok}) + P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,98=98%\)

oder

\(1 - P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad \overline{T_{2ok}})= 1 - P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(\overline{T_{2ok}}) =0,98=98%\)

Bayes.

\(P(S)=P(A)P(S|A) + P(B)P(B|S) + P(C)P(C|S) \approx 0,119\\ P(B|S)=\frac{P(B)\cdot P(S|B)}{P(S)} \approx 0,252 = 25,2%\)

Anzahl der günstigen Ereignisse: \({4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}\) (wir ziehen zufällig 2 der 4 Könige und 2 der 4 Asse)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 4}\) (wir ziehen zufällig 4 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(P = \frac{{4 \choose 2} \cdot {4 \choose 2}}{{52 \choose 4}} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 } = \frac{36}{270725} \approx 0,000133\)

Alternativer Lösungsweg:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, beträgt 4/52 (denn es sind alle vier Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Karte ein Ass ist, beträgt 3/51 (denn es sind noch drei Asse im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Karte ein König ist, beträgt 4/50 (denn es sind alle vier Könige im Stapel).
Die Wahrscheinlichkeit, dass die vierte Karte ein König ist, beträgt 3/49 (denn es sind noch drei Könige im Stapel).
Weiterhin gibt es \({4 \choose 2} = 6\) Möglichkeiten für die Reihenfolge der beiden Asse und Könige (AAKK, AKAK, AKKA, KAAK, KAKA, KKAA).
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49} \approx 0,000133\).

Es gibt \(2^{10} = 1024\) Möglichkeiten, wie die zehn Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge). Jede davon ist gleich wahrscheinlich. Außerdem gibt es \({10 \choose 5} = 252\) Möglichkeiten für die Reihenfolge, wenn fünfmal Kopf bzw. Zahl fällt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt folglich \(\frac{{10 \choose 5}}{2^{10}} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}\).

Bayes.

\(P(S)=P(A)P(S|A) + P(B)P(B|S) + P(C)P(C|S) \approx 0,119\\ P(A|S)=\frac{P(A)\cdot P(S|A)}{P(S)} \approx 0,042 = 4,2%\)