Binomialverteilung.

\(P(X\leq 2)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \)

\({(\frac{5}{12})^0}\cdot{(\frac{7}{12})^5} \cdot {5 \choose 0} + {(\frac{5}{12})^1}\cdot{(\frac{7}{12})^4} \cdot {5 \choose 1} + {(\frac{5}{12})^2}\cdot{(\frac{7}{12})^3} \cdot {5 \choose 2} \)

\(\approx 0,654 = 65,4%\)

Binomialverteilung.

\(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(=1) + P(X=2) =\)

\({50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} + {50 \choose 1}\cdot 0,02^1 \cdot (1-0,02)^{49} + {50 \choose 2}\cdot 0,02^2 \cdot (1-0,02)^{48} =\\ 0,364 + 0,371 + 0,185 = 0,92 = 92%\)

Für die erste Karte gibt es 20 Möglichkeiten (4 Farben, 5 Karten je Farbe).
Für die zweite Karte gibt es nur noch 4 Möglichkeiten, da die Farbe durch die erste Karte bereits festgelegt ist.
Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte nur noch 3, 2 bzw. 1 Möglichkeit.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{20 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 1,54 \cdot 10^{-6}\), das sind ca. 0,00015%.

Ermittlung mittels Gegenwahrscheinlichkeit.

(mind. 2 Personen haben am selben Tag Geburtstag) = 1 - (alle haben an verschiedenen Tagen Geburtstag)

\(P(A) = 1 - P(\overline{A})=1 - \frac{365\cdot 364 \cdot 363 \cdots (365-30+2) \cdot (365-30+1)}{365^{30}} \approx 0,7063 = 70,63%\)

Totale Wahrscheinlichkeit.

\(P(A)=0,45\\ P(B)=0,3\\ P(C)=0,25\\ P(ok|A)=0,98\\ P(ok|B)=0,97\\ P(ok|C)=0,96\\\)

\(P(X)=P(\overline{ok})=\)

\(P(A)\cdot P(\overline{ok}|A)+P(B)\cdot P(\overline{ok}|B)+P(C)\cdot P(\overline{ok}|C)=0,028=2,8%\)

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme 7" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) und (6,1) günstig, da die Auganzahl hier Sieben beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

Wir berechnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit über ihre Gegenwahrscheinlichkeit P, dass alle 30 Gäste an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Anzahl der möglichen Fälle ist \(365^{30}\) (365 Tage für den ersten Gast, 365 Tage für den zweiten Gast, usw.). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(365 \cdot 364 \cdot 363 \cdot \ldots \cdot 336 = 365! / 335!\) (der erste Gast hat 365 Möglichkeiten, der zweite nur noch 364, da er nicht am selben Tag Geburtstag haben darf wie der erste, der dritte noch 363, usw.). Wegen P = "Anzahl der günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle" gilt also \(P = \frac{365!}{335! \cdot 365^{30}} \approx 0,2937\) . Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit \(1-P = 0,7063\). Die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen zwei am selben Tag Geburtstag haben, liegt also bei etwa 71%.

Bayes.

\(P(S)=P(A)P(S|A) + P(B)P(B|S) + P(C)P(C|S) \approx 0,119\\ P(A|S)=\frac{P(A)\cdot P(S|A)}{P(S)} \approx 0,042 = 4,2%\)