Wir verwenden dazu den Satz von Bayes:

M1 ... faire Münze: P(K)=0,5; P(Z)=0,5
M2 ... unfaire Münze: P(K)=0,1; P(Z)=0,9

\(P(M1| K) = \frac{P(K|M1) \cdot P(M1)}{P(K)} \approx 0,83 = 83,3%\)

 wobei \(P(K|M_1)=0,5; \qquad P(M_1)=0,5; \qquad P(K)=0,3 \)  ist. 

Binomialverteilung.

\(P(X=0) = {50 \choose 0}\cdot 0,02^0 \cdot (1-0,02)^{50} = 0,364 = 36,4%\)

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)

Es gibt \(2^{10} = 1024\) Möglichkeiten, wie die zehn Würfe ausgehen können (bei Beachtung der Reihenfolge). Jede davon ist gleich wahrscheinlich. Außerdem gibt es \({10 \choose 5} = 252\) Möglichkeiten für die Reihenfolge, wenn fünfmal Kopf bzw. Zahl fällt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt folglich \(\frac{{10 \choose 5}}{2^{10}} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}\).

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k=3)=\frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,442 = 44,2%\)

Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\).

Alternativer Lösungsweg:
Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

Binomialverteilung.

\(P(X=5) = {(\frac{5}{12})^5}\cdot{(\frac{7}{12})^0} \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0126 = 1,26%\)

Binomialverteilung.

\(P(X=5)=(\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 \cdot {5 \choose 5} \approx 0,0041 = 0,41%\)