Da der Würfel fair ist, tritt jede Augenzahl mit derselben Wahrscheinlichkeit von 1/6 auf. Auch dann, wenn eine Auganzahl beliebig oft nicht gewürfelt wurde, ändert dies nichts an deren Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf aufzutreten; die einzelnen Würfe sind voneinander unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass im sechsten Wurf eine Sechs fällt, ist also 1/6 (und damit genauso hoch, wie die Wahrscheinlichkeit, im 20. Wurf eine Eins, Zwei, Drei, Vier oder Fünf zu würfeln).

Zwei farblich passende Socken erhält man, wenn man zwei schwarze oder zwei weiße Socken zieht. Die Wahrscheinlichkeit für zwei schwarze Socken ist \(P(schwarz) = \frac{10}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{3}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit für zwei weiße Socken ist \(P(weiss) = \frac{6}{16} \cdot \frac{5}{15} = \frac{1}{8}\). Insgesamt hat man also eine Chance von 50%, bei zweimaligem Ziehen ein farblich passendes Sockenpaar zu erhalten.

Anzahl der günstigen Ereignisse: \(4 \cdot {13 \choose 5}\) (wir ziehen fünf der insgesamt 13 Karten einer Farbe; es gibt 4 Farben, daher multiplizieren wir mit 4)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = 4 \cdot \frac{{13 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,00198\).

Alternativer Lösungsweg:
Die erste Karte ist beliebig, es gibt also 52 Möglichkeiten. Die zweite Karte muss dieselbe Farbe haben wie die erste, dafür gibt es noch 12 Möglichkeiten. Analog gibt es für die dritte, vierte und fünfte Karte noch 11, 10, bzw. 9 Möglichkeiten.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also \(P = \frac{52 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48} \approx 0,00198\).

Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, d.h. es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Wir können also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme mindestens 10" bestimmen, indem wir die Anzahl der günstigen Fälle durch die Anzahl der möglichen Fälle berechnen: Insgesamt gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) mögliche Fälle, wie ein Wurf mit zwei Würfeln ausgehen kann. Davon sind die Fälle (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5) und (6,6) günstig, da die Auganzahl hier mindestens 10 beträgt. Insgesamt sind also 6 von 36 möglichen Fällen günstig, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist 1/6.

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(T_{1ok} \quad und \quad T_{2ok})=P(T_{1ok})\cdot P(T_{2ok})=0,72=72%\)

Wir bestimmen zunächst die Gegenwahrscheinlichkeit \(\overline P\), dass man nach fünfmaligem Ziehen kein Ass auf der Hand hat:
Anzahl der günstigen Ereignisse: \({48 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 der 48 Karten, die kein Ass sind)
Anzahl der möglichen Ereignisse: \({52 \choose 5}\) (wir ziehen zufällig 5 aus 52 Karten)
Damit gilt: \(\overline P = \frac{{48 \choose 5}}{{52 \choose 5}} \approx 0,659\)
Folglich ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P = 1-\overline P = 0,341\) und damit ca. 1:3.

Alternativer Lösungsweg:
Wir bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, dass wir genau ein, zwei, drei oder vier Asse ziehen, und summieren diese (wesentlich komplizierter als die erste Lösung!):

\(P(1 Ass) = \frac{{4 \choose 1} \cdot {48 \choose 4}}{{52 \choose 5}}\approx 0,29947\)

\(P(2 Asse) = \frac{{4 \choose 2} \cdot {48 \choose 3}}{{52 \choose 5}} = \frac{8684}{216580} \approx 0,03993\)

\(P(3 Asse) = \frac{{4 \choose 3} \cdot {48 \choose 2}}{{52 \choose 5}} = \frac{4512}{2598960} \approx 0,001736\)

\(P(4 Asse) = \frac{{4 \choose 4} \cdot {48 \choose 1}}{{52 \choose 5}} = \frac{48}{2598960} \approx 0,000018469\)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also P = P(1 Ass) + P(2 Asse) + P(3 Asse) + P(4 Asse) = 0,341.

Totale Wahrscheinlichkeit.
\(P(T_{1ok})=0,8; \quad P(\overline{T_{1ok}})=0,2\\ P(T_{2ok})=0,9; \quad P(\overline{T_{2ok}})=0,1\)

\(P(\overline{T_{1ok}} \quad und \quad \overline{T_{2ok}})=P(\overline{T_{1ok}})\cdot P(\overline{T_{2ok}})=0,02=2%\)

Hypergeometrische Verteilung.

\(P(k \leq 2)= P(k=0) + P(k=1) + P(k=2) = \)

\(\frac{{7 \choose 5} \cdot {5 \choose 0}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 4} \cdot {5 \choose 1}}{12 \choose 5}} + \frac{{7 \choose 3} \cdot {5 \choose 2}}{12 \choose 5}} \approx 0,689 = 68,9%\)