Wir suchen das 0,5-Quantil, also den Median: Für welches x nimmt F(x) den Wert 0,5 an?

Aus \(F(x) = 1-e^{-3x} = 0,5\) folgt \(x = -\frac{1}{3} \cdot ln (0,5) = 0,23\), d.h. nach knapp 3 Monaten ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ausgefallen.

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{0,7 - 0,8}{0,06} \approx -1,67\\ P(X>0,7) = 1 - P(X \leq 0,7) = 1 - \Phi(-1,67) = 1- (1 - \Phi(1,67)) = \Phi(1,67) \approx 0,9525\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%\)

Jede Wartezeit zwischen 0 und 15 Minuten ist gleich wahrscheinlich. Folglich ist X gleichverteilt im Intervall (0;15) und die Dichtefunktion hat in diesem Bereich einen konstanten Wert >0 ("Rechteckverteilung"). Da die Fläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss (denn irgendeinen Wert zwischen 0 und 15 nimmt f(x) auf jeden Fall an), gilt f(x) = 1/15 für 0 < x < 15 und f(x) = 0 sonst.

Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(\Phi(Z) = 0,9 \Rightarrow Z=1,29\\ Z = \frac{X-50}{20} \Rightarrow X = 75,8 \)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X- \mu}{\sigma} = \frac{48-50}{1}=-2 \\ P(X<48) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1-0,977 = 0,023 = 2,3%\)

Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso
(Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).