Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Stetige Verteilungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Die Lebensdauer eines radioaktiven \(C_{14}\) Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion \(F(t)= 1-e^{-0.00012t}\) (für \(t>0\) ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit \(P(T>5000)\). Nr. 3751
	\(11,3%\)
	\(23,8%\)
	\(54,9%\)
	\(47,5%\)
Lösungsweg \(P(T > t) = 1 - P(T \leq t) = 1- F(T)\\ 1 - P(t \leq 5000) = 1- (1-e^{-0.00012\cdot 5000} )= e^{-0,6} \approx 0,549 = 54,9%\)

4 erreichbare Punkte

Die Lebensdauer eines radioaktiven \(C_{14}\) Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion \(F(t)= 1-e^{-0.00012t}\) (für \(t>0\) ) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von \(^{14}C\), also die Zeit \(t_{\frac{1}{2}}\) für die \(F( t_{\frac{1}{2}})=0,5\). gilt Nr. 3752
	\(t_{\frac{1}{2}} = 1756 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 2894 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 4296 \qquad Jahre\)
	\(t_{\frac{1}{2}} = 5776 \qquad Jahre\)
Lösungsweg \(F(t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ -0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln{\frac{1}{2}} \) \(t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{2}}{-0,00012} \approx 5776\)

4 erreichbare Punkte

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion \(F(x) = 1-e^{-3x}\) für \(x \geq 0\) und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils 3 bis 6 Monate? Nr. 4577
	25%
	30%
	35%
	40%
Lösungsweg \(F\left\( \frac{1}{2} \right\) - F\left\( \frac{1}{4} \right\) = 1-e^{-1,5} - \left\( 1-e^{-0,75} \right\) = e^{-0,75} - e^{-1,5} = 0,4724 - 0,2231 = 0,25\)

4 erreichbare Punkte

Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ihre Summe X+Y Nr. 4601
	standardnormalverteilt
	normalverteilt
	normalverteilt, wenn X und Y unabhängig sind
	normalverteilt, wenn X und Y abhängig sind
Lösungsweg Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso (Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

4 erreichbare Punkte

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4572
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(x) im Bereich \(0 \leq x \leq 6\) Nr. 4562
	\(f(x) = \frac{1}{6}x\)
	\(f(x) = 6x\)
	\(f(x) = \frac{1}{6x}\)
	\(f(x) = \frac{1}{6}\)
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = 1/(b-a) für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst (das folgt daraus, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss). Wegen a=0 und b=6 gilt hier f(x) = 1/6 für \(0 \leq x \leq 6\) und f(x) = 0 sonst.

4 erreichbare Punkte

Was sagt der zentrale Grenzwertsatz über die Summe \(X = X_1 + ... + X_n\) von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_1, ..., X_n\)? Nr. 4602
	X ist für \(n \rightarrow \infty\) normalverteilt.
	X ist für große n genau dann normalverteilt, wenn alle \(X_i\) normalverteilt sind.
	Das arithmetische Mittel \(\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n} X\) ist für \(n \rightarrow \infty\) normalverteilt.
	Das hängt von der konkreten Verteilung der \(X_i\) ab.
Lösungsweg Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_i\) ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die \(X_i\) nicht normalverteilt zu sein! Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

4 erreichbare Punkte

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion \(F(x) = 1-e^{-3x}\) für \(x \geq 0\) und F(x) = 0 sonst. Nach welcher Zeit ist das Bauteil mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit ausgefallen? Nr. 4579
	2 Monate
	3 Monate
	4 Monate
	5 Monate
Lösungsweg Wir suchen das 0,5-Quantil, also den Median: Für welches x nimmt F(x) den Wert 0,5 an? Aus \(F(x) = 1-e^{-3x} = 0,5\) folgt \(x = -\frac{1}{3} \cdot ln (0,5) = 0,23\), d.h. nach knapp 3 Monaten ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ausgefallen.

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