Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(P(X<48,5) + P(X>51,5) \\ Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} = \frac{48,5-50}{1}=-1,5 \\ Z_2 = \frac{X_2 - \mu}{\sigma} = \frac{51,5-50}{1}=1,5 \)

\(P(X<48,5) = \Phi(-1,5) = 1 - \Phi(1,5) \approx 0,067 \\ \\ P(X>51,5) = 1- P(X \leq 51,5) = 1- \Phi(1,5) \approx 0,067\)

Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_i\) ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die \(X_i\) nicht normalverteilt zu sein!

Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

\(f(x)=F^{\prime}(x)\)

Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso
(Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt \(F(x) = P(X \leq x)\) und \(P(X \geq x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)\) (*). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 10) = 1-F(10) = 1-\frac{10}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).

(*) Anmerkung: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, exakt einen vorgegebenen Wert x anzunehmen,
gleich Null; daraus folgt \(P(X \leq x) = P(X < x)\) und \(P(X \geq x) = P(X > x)\).

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{0,7 - 0,8}{0,06} \approx -1,67\\ P(X>0,7) = 1 - P(X \leq 0,7) = 1 - \Phi(-1,67) = 1- (1 - \Phi(1,67)) = \Phi(1,67) \approx 0,9525\)

Totale Wahrscheinlichkeit.

\(P(K)=P(A1) \cdot P(K|A_1) +P(A2) \cdot P(K|A_2) +P(A3) \cdot P(K|A_3) = 0,1 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,4 = 0,49 = 49% \)