Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich \((-\infty;\, x)\) gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt\)

Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso
(Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

\(f(x)=F^{\prime}(x)\)

Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Totale Wahrscheinlichkeit.

\(P(K)=P(A1) \cdot P(K|A_1) +P(A2) \cdot P(K|A_2) +P(A3) \cdot P(K|A_3) = 0,1 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,4 = 0,49 = 49% \)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(P(X>x) = 0,98 ? \\ P(X \leq x) = 0,02 \Rightarrow \Phi(Z) = 0,02 \Rightarrow 1 - \Phi(-Z) = 0,02 \Rightarrow \Phi(-Z) = 0,98\\ Z=-2,06 = \frac{x-0,8}{0,06} \Rightarrow x= 0,6764\)

\(F(t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ -0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln{\frac{1}{2}} \)

\(t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{2}}{-0,00012} \approx 5776\)

Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.

Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.