\(F(t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ -0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln{\frac{1}{2}} \)

\(t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{2}}{-0,00012} \approx 5776\)

Gegeben ist ein einseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert \(\mu\) eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung \(\sigma\). Die Formel für das nach oben begrenzte Konfindenzintervall lautet \((-\infty; \; \overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ]\). Die obere Intervallgrenze ist vorgegeben als 499,9; wir suchen das passende p-Quantil der Standardnormalverteilung, also den Wert p, für welchen gilt: \(\overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 499,9\). Auflösen nach \(z_p\) ergibt \(z_p = (499,9 - \overline x) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sigma}\). Mit \(\overline x = 497,5\); \(\sigma = 5\) und n = 10 folgt \(z_p = (499,9 - 497,5) \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2,4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 1,51789\). Der Tabelle für die Standardnormalverteilung entnehmen wir p=0,93548. Der Erwartungswert liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,5% unterhalb des Sollgewichts von 500 Gramm.

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%\)

Die ZV ist binomialveteilt. Verwendung der Binomialverteilung ergibt: \(P(x\geq 10)=0,9953...\approx 0,995\)

Anderer "händischer" Weg:

Approximation der (diskreten) Binomialverteilung durch die (stetige) Normalverteilung: 

n ... Stichprobe = 1000
p ... Anteil fehlerhafte Stück = 0,02
\(\mu = np = 20\\ \sigma^2 = np(1-p) = 19,6 \Rightarrow \sigma \approx 4,43\\\)

\( P(X\geq 10)\approx 1-\Phi(\frac{9,5 - 20}{4,43})=1-\Phi( -2,37)\approx 0.991\) , wobei \(Z= \frac{10-0,5 - 20}{4,43} \approx -2,37\) ist. 

Vorsicht: Hier wurde die Stetigkeitskorrektur verwendet, die aber oftmals auch weggelassen wird, vor allem bei großem n. 

\(F\left\( \frac{1}{2} \right\) - F\left\( \frac{1}{4} \right\) = 1-e^{-1,5} - \left\( 1-e^{-0,75} \right\) = e^{-0,75} - e^{-1,5} = 0,4724 - 0,2231 = 0,25\)

Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen.

\(Z= \frac{60-50}{20} = 0,5\\ P(X > 60) = 1 - P(X \leq 60) = 1 - \Phi(0,5) \approx 1 - 0,6915 = 0,3085 = 30,85%\)

Die Verteilungsfunktion von X ist \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: \(P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05\)

Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion \(F(x) = \frac{x-a}{b-a}\) für a < x < b und F(x)=0 für \(x \leq a\) bzw. F(x) = 1 für \(x \geq b\). Wegen a=0 und b=6 gilt hier \(F(x) = \frac{x}{6}\) für 0<x<6.