Binomialverteilung.
X ... Anzahl d. Stornierungen der Tickets (100 Plätze, 105 Tickets)
p ... Wahrscheinlichkeit f. eine Stornierung = 0,1
Werden weniger als 5 Tickets storniert, so ist die Maschine überbucht, daher suchen wir P(X<5).

\(P(X<5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4).\)

\(P(X=x)={105 \choose x}\cdot 0,1^x\cdot 0,9^{105-x}\)

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist definiert als: \(F(x) = P(X \leq x); x \in \mathbb{R}\)

Sei X die Zufallsvariable "Gewinn beim Glücksspiel = ausbezahlter Betrag minus Einsatz". Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=99) = 2/216 und P(X=-1) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 99 + \frac{214}{216} \cdot (-1) = - \frac{16}{216} \approx -0,074\)
Man verliert also langfristig; im Mittel 7,4 Cent pro Spiel.

Sei X die Zufallsvariable "ausbezahlter Betrag" (ohne Berücksichtigung des Einsatzes). Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 3 beträgt, ebenso wie die Wahrscheinlichket für die Augensumme 18, 1/216; bei allen anderen 214 Wurffolgen verliert man den Einsatz:
P(X=100) = 2/216 und P(X=0) = 214/216.

Damit gilt für den Erwartungswert von X:

\(E(X) = \frac{2}{216} \cdot 100 = \frac{200}{216} \approx 0,926 = 1-0,074\)
Der Erwartungswert für den ausbezahlten Betrag liegt also unter dem Einsatz, d.h. man zahlt langfristig mehr, als man bekommt.

\(P(Augensumme\ \ zweistellig) = P(X>9) = 1-P(X \leq 9) = 1-F(9)\)

Da X nur ganzzahlige Werte annehmen kann, gilt \(F(9) = P(X \leq 9) = P(X \leq 9,5) = F(9,5)\), somit ist \(1-F(9,5)\) ebenfalls korrekt.

Die möglichen Ausprägungen von X sind \(x_0 = 0,\; x_1 = 1,\; x_2 = 2,\; x_3 = 3\). Sie haben die Wahrscheinlichkeiten \(p_0 = p_3 = \frac{1}{8}\) (dreimal Zahl bzw. dreimal Kopf) und \(p_1 = p_2 = \frac{3}{8}\) (einmal bzw. zweimal Kopf). Als Erwartungswert erhalten wir somit:

\(E(X) = \sum_{i=0}^{3} x_i p_i = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{3}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} = 1,5\)

Im Schnitt fällt bei drei Münzen also 1,5-mal Kopf.

Hypergeometrische Verteilung.
N ... Grundgesamtheit = 50
n ... Stichprobe = 2
M ... Anzahl d. schwarzen Kugeln in der Grundgesamtheit = 5
k ... Anzahl d. schwarzen Kugeln aus der Stichprobe = 2

\(P(X=2)=\frac{{5 \choose 2}{45 \choose 0}}{{50 \choose 2}}=0,008=0,8%\)

Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung: Wir ziehen n-mal (ohne Zurücklegen) aus einer unendlichen Grundgesamtheit bei konstanter Warscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt (Ziehen eines fehlerhaften Bauteils). Das Ziehen eines Elementes beeinflusst den Rest der Grundgesamtheit nicht, d.h. die Bedingungen bei jedem Ziehen sind gleich -- im Gegensatz zur hypergeometrischen Verteilung, bei der sich nach jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit ändert.

Bei einer Gleichverteilung haben alle möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen die gleiche Wahrscheinlichkeit, das ist hier nicht der Fall (die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Bauteil in der Stichprobe ist, entspricht in der Regel nicht der Wahrscheinlichkeit, dass alle n Bauteile der Stichprobe fehlerhaft sind).

Bei einer Poissonverteilung kann die Zufallsvariable unendlich viele verschiedene Werte annehmen, auch das ist hier nicht der Fall, denn X ist hier durch die (endliche) Stichprobengröße n beschränkt.

Wir summieren die Wahrscheinlichkeiten, dass die Augensumme 5 oder 6 ist:\(P(4

Es gibt 6 Möglichkeiten für Augensumme 5: 1-1-3, 1-3-1, 3-1-1; 1-2-2, 2-1-2, 2-2-1
Es gibt 10 Möglichkeiten für Augensumme 6: 1-1-4, 1-4-1, 4-1-1; 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1; 2-2-2