Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X=20) und den Wert der Verteilungsfunktion F(20)! Nr. 4556
	0 und 0
	1 und 0
	0 und 1
	1 und 1
Lösungsweg \(P(X=20) = 0\), denn die Augensumme 20 kann bei drei Würfeln nicht auftreten. \(F(20) = P(X \leq 20) = 1\), denn alle möglichen Augensummen liegen unter dem Wert von 20.

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel" und F(x) ihre Verteilungsfunktion. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit angeben für das Ereignis, dass eine zweistellige Augensumme gewürfelt wird? Nr. 4557
	F(9)
	F(10)
	1-F(9)
	1-F(9,5)
Lösungsweg \(P(Augensumme\ \ zweistellig) = P(X>9) = 1-P(X \leq 9) = 1-F(9)\) Da X nur ganzzahlige Werte annehmen kann, gilt \(F(9) = P(X \leq 9) = P(X \leq 9,5) = F(9,5)\), somit ist \(1-F(9,5)\) ebenfalls korrekt.

Der Kinderchor eines Dorfes besteht aus 7 Mädchen und 5 Jungen. Für eine Sondervorstellung wird eine Gruppe aus 4 Kindern per Los bestimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht die Gruppe nur aus Jungen? Nr. 3688
	\(5,5%\)
	\(7,07%\)
	\(1%\)
	\(42%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung: N ... Grundgesamtheit = 12 M ... Anzahl d. Jungen =5 n ... Auswahl aus der Grundgesamtheit = die Gruppe = 4 k ... Anzahl der Jungen in der Auswahl = 4 \(P(X=4)=\frac{{5 \choose 4}\cdot{7 \choose 0}}{{12 \choose 4}}=\frac{1}{99}\approx 0,01\)

Ein Eisenwarenhandel bezieht von einem Lieferanten Schrauben in Lieferungen zu je 1000 Stück. Bevor er eine Lieferung annimmt, macht er eine Stichprobenprüfung im Umfang von 100 Stück. Er nimmt die Lieferung an, wenn er in der Stichprobe höchstens 3 fehlerhafte Stück findet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Annahme, wenn in der Lieferung 20 Schrauben fehlerhaft sind? Nr. 3691
	\(24,3%\)
	\(78,5%\)
	\(86,9%\)
	\(98,7%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung. N ... Grundgesamtheit = 1000 n ... Stichprobe = 100 k ... fehlerhafte Stücke aus der Stichprobe <= 3 M ... fehlerhafte Stücke aus der Grundgesamtheit = 20 \(P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \) \(\frac{{20 \choose 0}{980 \choose 100}}{1000 \choose 100} + \frac{{20 \choose 1}{980 \choose 99}}{1000 \choose 100} + \)\( \frac{{20 \choose 2}{980 \choose 98}}{1000 \choose 100} + \frac{{20 \choose 3}{980 \choose 97}}{1000 \choose 100} = \) \(11,9% + 27% + 28,8% + 19,2% \approx 86,9%\)

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Die Verteilungsfunktion F(x) von X gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Augensumme X gewürfelt wird, für welche gilt: Nr. 4550
	\(X \leq x\)
	\(X < x\)
	\(X > x\)
	\(X = x\)
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X ist definiert als: \(F(x) = P(X \leq x); x \in \mathbb{R}\)

Sie werfen n verschiedene Würfel und addieren die Augensumme X aller Würfel nach jedem Wurf. Welche Verteilung hat X für große n? Nr. 4603
	Gleichverteilung
	Binomialverteilung
	Dreiecksverteilung
	Normalverteilung
Lösungsweg Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

Der Kinderchor eines Dorfes besteht aus 7 Mädchen und 5 Jungen. Für eine Sondervorstellung wird eine Gruppe aus 4 Kindern per Los bestimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht die Gruppe aus 2 Mädchen und 2 Jungen? Nr. 3689
	\(5,5%\)
	\(7,07%\)
	\(1%\)
	\(42%\)
Lösungsweg Hypergeometrische Verteilung: N ... Grundgesamtheit = 12 M ... Anzahl d. Mädchen = 7 n ... Auswahl aus der Grundgesamtheit = die Gruppe = 4 k ... Anzahl der Mädchen in der Auswahl = 2 \(P(X=2)=\frac{{7 \choose 2}\cdot{5 \choose 2}}{{12 \choose 4}}=\frac{14}{33}\approx 0,42\)

Eine Fabrik produziert Joghurtbecher mit einem konstanten Ausschussanteil von 3%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, unter 50 hintereinander entnommenen Joghurtbechern genau einen fehlerhaften Joghurtbecher vorzufinden? Nr. 3695
	\(33,72%\)
	\(37,94%\)
	\(26,38%\)
	\(39,62%\)
Lösungsweg Binomialverteilung. X ... Anzahl d. fehlerhaften Stück p ... Ausschuss = 0,03 \(P(X=1)={50 \choose 1} \cdot 0,03^1 \cdot 0,97^{49} \approx 0,3372 = 33,72%\)

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