Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Hypothesentest.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ein Schokoladenverkäufer behauptet, dass in 30% seiner Schoko-Osterhasen kleine Gewinne versteckt sind. Testen Sie diese Hypothese und geben Sie eine Irrtumswahrscheinlichkeit an! Machen Sie dies mittels eines linksseitigen Hypothesentests: Wenn unter 50 Schokohasen mindestens 10 Gewinner versteckt sind, kann man dem Schokoladenverkäufer Glauben schenken. (Ohne Stetigkeitskorrektur) Nr. 4373
	$\alpha \approx 98 %$
	$\alpha \approx 3 %$
	$\alpha = 0.029 %$
	$\alpha = 4.5 %$
	$\alpha = 99 %$
Lösungsweg Die Hypothese lautet: $H: \; p=0.3$ Durch den linksseitigen Test ist folgender kritischer Bereich festgelegt: $K = \{ 0; 1 ; 2; ...; 9\}$ Die Irrtumswahrscheinlichkeit errechnet sich folgendermaßen: $\alpha = P ( X \leq 9) = P (0 \leq X \leq 9 = \Phi \Big( \frac{9-\mu}{\sigma} \Big) - \Phi \Big( \frac{0-\mu}{\sigma} \Big)$ Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden: $\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0.3 = 15$ $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{50 \cdot 0.3 \cdot 0.7} \approx 3.24$ Somit: $\alpha = \Phi \Big( \frac{9-15}{3.24} \Big) - \Phi \Big( \frac{0-15}{3.24} \Big) = \Phi \Big( -1.852 \Big) - \Phi \Big( -4.630 \Big) =$ $= \Big( 1 - \Phi (1.85) \Big) - \Big( 1- \Phi (4.63 ) \Big) = \Big( 1 - 0.96784\Big) - \Big( 1- 1\Big) = 0.03216$ $\alpha = 3.216 % \approx 3 %$

5 erreichbare Punkte

Eine zufällige Stichprobe von 10 Kaffeepackungen mit dem Sollgewicht von je 500 Gramm hat den Mittelwert $\overline x = 497,5$ . Das Abfüllgewicht X ist normalverteilt mit $\sigma = 5$ Gramm. Testen Sie die Nullhypothese $H_0: \; \mu \geq 500$ gegen die Alternativhypothese $H_1: \; \mu < 500$ auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,05$ und interpretieren Sie das Ergebnis! Nr. 4617
	Die Nullhypothese wird verworfen; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht systematisch unterschritten wird.
	Die Nullhypothese wird beibehalten; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht in der Regel erreicht wird.
	Die Nullhypothese wird verworfen; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht in der Regel erreicht wird.
	Die Nullhypothese wird beibehalten; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht systematisch unterschritten wird.
Lösungsweg Es handelt sich um einen einseitigen Gauß-Test, also einen Test für den Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung. Wir berechnen zunächst den standardisierten Prüfwert z: $z = \frac{\overline x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{497,5 - 500}{5 / \sqrt{10}} = \sqrt{10} \cdot (-0,5) = -1,5811$ Nun bestimmen wir das Quantil $z_{1-\alpha}$ der Standardnormalverteilung mithilfe der Tabelle: $z_{1-\alpha} = z_{0,95} = 1,645$ Der Ablehnungsbereich ist also z < -1,645. Da die Prüfgröße z = -1,5811 nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese beibehalten. Das Testergebnis spricht also dafür, dass die Kaffeepackungen in der Regel mindestens das Sollgewicht von 500 Gramm erreichen.

4 erreichbare Punkte

Eine zufällige Stichprobe von 10 Kaffeepackungen mit dem Sollgewicht von je 500 Gramm hat den Mittelwert $\overline x = 497,5$ . Das Abfüllgewicht X ist normalverteilt mit $\sigma = 5$ Gramm. Testen Sie die Nullhypothese $H_0: \; \mu \geq 500$ gegen die Alternativhypothese $H_1: \; \mu < 500$ auf dem Signifikanzniveau $\alpha = 0,1$ und interpretieren Sie das Ergebnis! Nr. 4618
	Die Nullhypothese wird verworfen; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht systematisch unterschritten wird.
	Die Nullhypothese wird beibehalten; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht in der Regel erreicht wird.
	Die Nullhypothese wird verworfen; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht in der Regel erreicht wird.
	Die Nullhypothese wird beibehalten; das Testergebnis spricht also dafür, dass das Sollgewicht systematisch unterschritten wird.
Lösungsweg Es handelt sich um einen einseitigen Gauß-Test, also einen Test für den Erwartungswert eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung. Wir berechnen zunächst den standardisierten Prüfwert z: $z = \frac{\overline x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{497,5 - 500}{5 / \sqrt{10}} = \sqrt{10} \cdot (-0,5) = -1,5811$ Nun bestimmen wir das Quantil $z_{1-\alpha}$ der Standardnormalverteilung mithilfe der Tabelle: $z_{1-\alpha} = z_{0,9} = 1,2816$ Der Ablehnungsbereich ist also z < -1,2816. Da die Prüfgröße z = -1,5811 im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese verworfen. Das Testergebnis spricht also dafür, dass die Kaffeepackungen das Sollgewicht von 500 Gramm in der Regel unterschreiten.

4 erreichbare Punkte

Die Nullhypothese bei einem Test laute: Frau X ist mit dem Virus Y infiziert. Wie lautet dann der Fehler 1. Art? Nr. 4614
	Der Test auf das Virus Y ist bei Frau X negativ, Frau X ist aber mit dem Virus infiziert.
	Der Test auf das Virus Y ist bei Frau X positiv, Frau X ist aber nicht mit dem Virus infiziert.
	Der Test auf das Virus Y ist bei Frau X negativ, und Frau X ist nicht mit dem Virus infiziert.
	Der Test auf das Virus Y ist bei Frau X positiv, und Frau X ist mit dem Virus infiziert.
Lösungsweg Beim Fehler 1. Art wird die Nullhypothese verworfen, obwohl sie wahr ist. In diesem Fall würde man also, nachdem der Test auf das Virus bei Frau X negativ war, davon ausgehen, dass sie sich nicht mit dem Virus infiziert hat, obwohl sie in Wirklichkeit infiziert ist. Der Virustest liefert also ein falsch negatives Ergebnis.

4 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Aussagen über statistische Test sind zutreffend? Nr. 4613
	Entscheidet man sich gegen die Nullhypothese, obwohl sie wahr ist, so begeht man einen Fehler 1. Art (Alpha-Fehler).
	Entscheidet man sich gegen die Alternativhypothese, obwohl sie wahr ist, so begeht man einen Fehler 2. Art (Beta-Fehler).
	Entscheidet man sich für die Nullhypothese, obwohl sie falsch ist, so begeht man einen Fehler 2. Art (Beta-Fehler).
	Entscheidet man sich für die Alternativhypothese, obwohl sie falsch ist, so begeht man einen Fehler 1. Art (Alpha-Fehler).
	Das hängt von der Art des Tests und der zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung ab.
Lösungsweg Die ersten vier Aussagen sind wahr, und Antwort 1 und 4 bzw. Antwort 2 und 3 sind jeweils äquivalent: Entscheidet man sich gegen die Nullhypothese (und damit für die Alternativhypothese), obwohl die Nullhypothese wahr (und damit die Alternativhypothese falsch) ist, so begeht man einen Fehler 1. Art (Alpha-Fehler). Entscheidet man sich gegen die Alternativhypothese (und damit für die Nullhypothese), obwohl die Alternativhypothese wahr (und damit die Nullhypothese falsch) ist, so begeht man einen Fehler 2. Art (Beta-Fehler).

5 erreichbare Punkte

Laut einer Studie wohnen 1/3 aller Studenten noch zu Hause bei ihren Eltern. Um das zu überprüfen, wird eine Zufallsstichprobe von n= 1000 Studenten ausgewählt. Geben Sie den Annahmebreich der Hypothese an, wenn diese 1000 Studenten befragt werden. Wählen Sie als Breite des Konfidenzintervalls vier Standardabweichungen, also $[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma ]$ Nr. 4371
	$\Big[ 721.28 \; , \; 875.99 \Big]$
	$\Big[ 425.78 \; , \; 533.92 \Big]$
	$\Big[ 278\; , \; 291 \Big]$
	$\Big[ 304 \; , \; 363 \Big]$
	$\Big[ 47 \; , \; 93 \Big]$
Lösungsweg Die Hypothese, die zu überprüfen ist, lautet wie folgt: $H: \; p=\frac{1}{3}$ Falls die Anzahl der noch zu Hause wohnenden Studenten im Bereich $\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big]$ liegt, so wird die Hypothese H angenommen. Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden: $\mu = n \cdot p = 1000 \cdot \frac{1}{3} =\frac{1000}{3} \approx 333.33$ $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1000 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} \approx 14.91$ Somit erhalten Sie folgenden Annahmebereich für die Hypothese H: $\Big[ \mu - 2\sigma , \; \mu + 2\sigma \Big] = \Big[ 333.33 - 2\cdot 14.91, \; 333.33 - 2\cdot 14.91\Big] = \Big[ 303.51 \; , \; 363.15 \Big] = \Big[ 304 \; , \; 363 \Big]$ (Es wird auf ganze Zahlen gerundet, da es sich um Personenzahlen handelt. Außerdem wird die untere Grenze aufgerundet und die obere Grenze abgerundet, damit die gerundete Zahl auch tatsächlich im Gültigkeitsbereich der Hypothese liegt.)

5 erreichbare Punkte

Bei einem statistischen Test laute die Nullhypothese $\mu = 0$ und die Alternativhypothese $\mu \geq 0$ . Sind diese Hypothesen zulässig? Nr. 4615
	Ja.
	Nein, denn $H_1$ muss das Gegenteil von $H_0$ sein, also z.B. $H_0:\; \mu = 0$ und $H_1:\; \mu \neq 0$ .
	Nein, denn $H_0$ und $H_1$ müssen sich gegenseitig ausschließen, also z.B. $H_0:\; \mu = 0$ und $H_1:\; \mu > 0$ .
	Das hängt von den konkreten Testbedingungen ab.
Lösungsweg Null- und die Alternativhypothese müssen sich gegenseitig ausschließen, sie müssen aber nicht zwingend das Gegenteil voneinander sein (d.h. sie müssen nicht wie Aussage und Gegenaussage zueinander stehen).

4 erreichbare Punkte

Die Hypothese, dass 1/4 aller Radfahrer, die zwischen 22:00 und 5:00 unterwegs sind, alkoholisiert sind, wird mit einer Stichprobe von 600 Radfahrern getestet. Der Hypothesentest liefert folgenden Annahmebereich, für die Anzahl alkoholisierter Radfahrer, für die Hypothese H: $\Big[ 129\; , \; 171 \Big]$ Wie groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ des Hypothesentests? (Ohne Stetigkeitskorrektur) Nr. 4372
	$\alpha =25%$
	$\alpha =4.5 \%$
	$\alpha \approx 0.02\%$
	$\alpha \approx 2\%$
	$\alpha \approx 98\%$
Lösungsweg Um die Irrtumswahrscheinlichkeit zu bestimmen, muss die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass die Anzahl der alkoholisierten Radfahrer außerhalb des Annahmebreichs $\Big[ 129\; , \; 171 \Big]$ liegt. Also: $\alpha = P ( X \leq 116 \vee \; 172 \leq X) = \Phi ( \frac{116 - \mu }{\sigma} ) + \big[1- \Phi ( \frac{172 - \mu }{\sigma} ) \Big]$ Der Erwartungswert sowie die Standardabweichung können direkt berechnet werden: $\mu = n \cdot p = 600 \cdot 0.25 = 150$ $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{600 \cdot 0.25 \cdot 0.75} \approx 10.61$ Also: $\alpha = \Phi ( \frac{116 - 150 }{10.61} ) + \Big[ 1- \Phi ( \frac{172 - 150 }{10.61} ) \Big] = \Phi (-3.21 ) + \Big[1- \Phi (2.07 ) \Big] =$ $= \Big[ 1- \Phi (3.21 )\Big] + \Big[1- \Phi (2.07 ) \Big] = \Big[ 1- 0.99934\Big] + \Big[1- 0.98077 \Big] = 0.00066 + 0.01923 = 0.01989$ Somit erhalten wir: $\alpha = 1.99 \% \approx 2\%$

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