Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 5 Fragen zu Mehrdimensionale beschreibende Statistik.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben seien die Wertepaare (-3,-9), (-2,-4), (-1,-1), (0,0), (1,-1), (2,-4), (3,-9). Berechnen Sie den Korrelationskoeffizient $r_{xy}$ ! Was schließen Sie aus dem Ergebnis? Nr. 4506
	Es gilt $r_{xy} = 0$ , d.h. es gibt keinerlei Zusammenhang zwischen den Werten $x_i$ und $y_i$ .
	Es gilt $r_{xy} = 0,5$ , d.h. es besteht eine schwach positive Korrelation zwischen den Werten $x_i$ und $y_i$ .
	Es gilt $r_{xy} = 0$ , d.h. es besteht keine lineare Korrelation zwischen den Werten $x_i$ und $y_i$ .
	Es gilt $r_{xy} = -0,8$ , d.h. es besteht eine negative Korrelation zwischen den Werten $x_i$ und $y_i$ .
Lösungsweg Die Kovarianz beträgt $s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x) (y_i - \overline y)}$ . Mit n=7, $\overline x = 0$ und $\overline y = -4$ erhält man $s_{xy} = 0$ und somit wegen $r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$ auch $r_{xy} = 0$ (die Berechnung der Standardabweichungen $s_x$ und $s_y$ kann man sich in diesem Fall sparen). Die Wertepaare $(x_i, y_i)$ sind also nicht linear korreliert, d.h. es gibt keinen linearen Zusammenhang zwischen $x_i$ und $y_i$ . Betrachtet man jedoch die Wertepaare, so fällt auf, dass $y_i = - x_i^2$ gilt, d.h. es existiert eine nichtlineare (genauer: quadratische) Korrelation! Der Korrelationskoeffizient sagt also nur etwas darüber aus, ob die Werte linear korreliert sind.

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei die zweidimensionale Stichprobe (1,1), (2,-1), (3,-2), (5,-1), (6,3). Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? Tipp: Zeichnen Sie ein Streudiagramm! Nr. 4517
	Der Korrelationskoeffizient ist $r_{xy} = 0,36$ .
	Es ist ein starker linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen erkennbar.
	Es ist kein starker linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen erkennbar.
	Es ist ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen erkennbar.
Lösungsweg Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den linearen Zusammenhang zwischen den Stichprobenwerten. Er liegt immer zwischen -1 und +1. Je näher sein Wert bei \|1\| liegt, desto eher liegen die Punkte der Stichprobe auf einer Geraden. Ein Korrelationskoeffizient von 0,36 (Rechnung siehe Hinweis zur ersten Antwort) legt keinen starken linearen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen nahe. Das Streudiagramm zeigt, dass die beiden Merkmale eher nichtlinear (genauer: quadratisch) zusammenhängen. Der Korrelationskoeffizient sagt also nichts über den nichtlinearen Zusammenhang zwischen den Stichprobenwerten aus!

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei die zweidimensionale Stichprobe (1,4), (3,2), (4,3), (6,0). Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizient! Nr. 4515
	$-1,3$
	$0,56$
	$-0,89$
	$-0,32$
Lösungsweg Es gilt: $r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$ $s_{xy} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x) (y_i - \overline y)}$ $s_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2}$ und $s_y = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (y_i - \overline y)^2}$ Mit $n=4$ , $\overline x = 3,5$ und $\overline y = 2,25$ erhalten wir $s_x = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot (2,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2 + 2,5^2)} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 13} \approx 2,08$ und $s_y = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot (1,75^2 + 0,25^2 + 0,75^2 + 2,25^2)} = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot 8,75} \approx 1,71$ . Weiterhin ist $s_{xy} = \frac{1}{3} \cdot (-2,5 \cdot 1,75 + (-0,5) \cdot (-0,25) + 0,5 \cdot 0,75 + 2,5 \cdot (-2,25)) = \frac{1}{3} \cdot (-9,5) \approx -3,17$ . Daraus ergibt sich $r_{xy} = -0,89$ . Die Wertepaare sind also stark negativ korreliert, d.h. sie liegen annähernd auf einer Geraden mit negativer Steigung.

4 erreichbare Punkte

Gegeben sei die zweidimensionale Stichprobe (1,4), (3,2), (4,3), (6,0). Bestimmen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden. Nr. 4516
	f(x) = -1,7 x - 2,9
	f(x) = 3,2 x + 7,9
	f(x) = 0,5 x - 2,3
	f(x) = -0,73 x + 4,81
Lösungsweg Die Gleichung der Regressionsgeraden laute f(x) = ax + b. Die Steigung der Geraden ist definiert als $a = r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x}$ und der Achsenabschnitt als $b = \overline y - a \cdot \overline x$ . Dabei ist $r_{xy}$ der empirische Korrelationskoeffizient, $\overline x, \overline y$ sind die arithmetischen Mittel und $s_x, s_y$ die Standardabweichungen der Stichprobenwerte $(x_i, y_i)$ . Mit $\overline x = 3,5, \overline y = 2,25, s_x = 2,08, s_y = 1,71$ und $r_{xy} = -0,89$ erhalten wir f(x) = -0,73 x + 4,81.

4 erreichbare Punkte

Wahr oder falsch: Je näher der Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe bei 1 liegt, desto stärker wachsen die y-Werte mit steigenden x-Werten. Nr. 4514
	wahr
	falsch
Lösungsweg Die Aussage ist falsch. Je näher der Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe bei 1 liegt, desto eher liegen die Punkte $(x_i, y_i)$ auf einer Geraden mit positiver Steigung.

2 erreichbare Punkte

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