Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Eigenwerte und Eigenvektoren.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix $A= \begin{pmatrix} -10 & 1 & 8 \\ -180 & 17 & 120 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3915
	1
	2
	-3
	5
Lösungsweg $A \vec{x}=\lambda \vec x$ wenn $\det (A-\lambda E)=0$ Determinante berechnen $\left\| \begin{matrix} -10-\lambda & 1 & 8 \\ -180 & 17-\lambda & 120 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{matrix} \right\|$ $=20-24\lambda+9\lambda^2-\lambda^3$ $20-24\lambda+9\lambda^2-\lambda^3 =0$ für $\lambda_1=2, \qquad \lambda_2=5$

4 erreichbare Punkte

Welche Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 1 der Matrix $A= \begin{pmatrix} -3 & -1 & -1 \\ 24 & 7 & -6 \\ 12 & 3 & -8 \end{pmatrix}$ Nr. 3914
	$\begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $(A-\lambda I) \vec{x} = 0$ $\begin{pmatrix} -4 & -1 & -1 \\ 24 & 6 & -6 \\ 12 & 3 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$ Gleichungssystem lösen z=0, y=-4x

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=-1$ $A= \begin{pmatrix} 1 & \frac 15 \\ -10 & -2 \end{pmatrix}$ Nr. 3877
	$x= \begin{pmatrix} 1 \\ -10 \end{pmatrix}$
	$x= \begin{pmatrix} 1 \\ 10 \end{pmatrix}$
	$x= \begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $A= \begin{pmatrix} 1 & \frac 15 \\ -10 & -2 \end{pmatrix}$ $(A-\lambda I) \vec{x} = 0$ $\begin{pmatrix} 2 & \frac 15 \\ -10 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$ Gleichungssystem lösen $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ -10 \end{pmatrix}$ und Vielfache davon

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix $A= \begin{pmatrix} 1 & \frac 15 \\ -10 & -2 \end{pmatrix}$ Nr. 3899
	0
	1
	-1
	2/5
Lösungsweg $A \vec{x}=\lambda \vec x$ wenn $\det (A-\lambda E)=0$ Determinante berechnen $\left\| \begin{matrix} (1 - \lambda) & \frac 15 \\ -10 & (-2- \lambda) \end{matrix} \right\| = (1-\lambda)(-2-\lambda)-(1/5)(-10)=\lambda+\lambda^2$ $\lambda+\lambda^2 =0$ für $\lambda_1=0, \qquad \lambda_2=-1$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix $A= \begin{pmatrix} -3 & -1 & -1 \\ 24 & 7 & -6 \\ 12 & 3 & -8 \end{pmatrix}$ Nr. 3913
	1
	2
	-1
	-2
	-3
Lösungsweg $A \vec{x}=\lambda \vec x$ wenn $\det (A-\lambda E)=0$ Determinante berechnen $\left\| \begin{matrix} -3-\lambda & -1 & -1 \\ 24 & 7-\lambda & -6 \\ 12 & 3 & -8-\lambda \end{matrix} \right \|$ $=(-3-\lambda)(7-\lambda)(-8-\lambda)+(-1)(-6)(12)+(-1)\cdot 24 \cdot 3 - 12(7-\lambda)(-1)-3(-6)(-3-\lambda)-(-8-\lambda)24(-1)$ $=6-\lambda-4\lambda^2-\lambda^3$ $6-\lambda-4\lambda^2-\lambda^3=0$ für $\lambda_1=-3 ,\qquad \lambda_2=-2 , \qquad \lambda_1=1$

5 erreichbare Punkte

Welche Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda=-2$ der Matrix $A= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ Nr. 3912
	$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $(A-\lambda I) \vec{x} = 0$ $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 0$ Gleichungssystem lösen $\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ x_2 \end{pmatrix}$ mit $x_2 \in R$

4 erreichbare Punkte

Welche Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert 5 der Matrix $A= \begin{pmatrix} -10 & 1 & 8 \\ -180 & 17 & 120 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3916
	$\begin{pmatrix} 1 \\ 15 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 5 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $(A-\lambda I) \vec{x} = 0$ $\begin{pmatrix} -15 & 1 & 8 \\ -180 & 12 & 120 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$ Gleichungssystem lösen $x_3=0$ $x_2=15x_1$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix $A= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$ Nr. 3911
	-2/3
	-2
	-3
	2
Lösungsweg $A \vec{x}=\lambda \vec x$ wenn $\det (A-\lambda E)=0$ Determinante berechnen $\left\| \begin{matrix} (-3 - \lambda) & 0 \\ 3 & (-2- \lambda) \end{matrix} \right\| = (-3-\lambda)(-2-\lambda)-0$ $(-3-\lambda)(-2-\lambda)=0$ für $\lambda_1= -3$ , $\lambda_2=-2$

4 erreichbare Punkte

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