Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Lineare Abbildungen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht: $f \;: \; \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^3, \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$ Nr. 4220
	nicht linear
	linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^4$ : $v_1=(x_1,x_2, x_3, x_4) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3, y_4)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Bedingung 1: $f \;: \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0,0,0) = (0 \cdot e^0, 0 \cdot 0, \sin (0)) = (0, 0, 0)=\vec{0}$ Bedingung 2: $f(v_1) + f(v_2) =(x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4) + (y_1 e^{y_1}, \; y_2y_3, \; \sin y_4) =\\ = (x_1 e^{x_1} + y_1 e^{y_1}, \; x_2x_3 + y_2y_3, \; \sin x_4 + \sin y_4)$ $f(v_1+v_2) = f( x_1+y_1 , x_2 + y_2, x_3 + y_3, x_4 + y_4)= \\ = ( (x_1 +y_1) e^{x_1 + y_1}, \; (x_2 + y_2)(x_3 +y_3), \; \sin (x_4+y_4) )$ Hier ist klar zu erkennen, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist. $\rightarrow f(v_1) + f(v_2) \neq f(v_1+v_2)$ Die Abbildung ist nicht linear.

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht:

$f \;: \; \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^3, \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$

Nr. 4220

nicht linear

linear

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Betrachte folgende Abbildung über dem Vektorraum der Polynome $P(\mathbb{R})$ und gib an , ob die Abbildung linear ist: $f: P(\mathbb{R}) \mapsto P(\mathbb{R}) \; , \; p(x) \mapsto p(x+1)$ Nr. 4221
	linear
	nicht linear
Lösungsweg Wähle zwei Polynome $p_1, \; p_2$ und $\lambda \in \mathbb{R}$ Zu überprüfen ist wieder: $f(p_1) + f(p_2) = f(p_1+p_2) ?$ $f(\lambda p_1) = \lambda f(p_1) ?$ Also: $f(p_1) + f(p_2) = p_1(x+1) + p_2(x+1) = (p_1+p_2)(x+1) = f(p_1+p_2)$ Und: $f(\lambda p_1) = (\lambda p_1) (x+1) = \lambda p_1(x+1) = \lambda f(p_1)$ Die Abbildung ist also linear.

Betrachte folgende Abbildung über dem Vektorraum der Polynome $P(\mathbb{R})$ und gib an , ob die Abbildung linear ist:

$f: P(\mathbb{R}) \mapsto P(\mathbb{R}) \; , \; p(x) \mapsto p(x+1)$

Nr. 4221

linear

nicht linear

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Die Abbildung f ist wie folgt definiert: $f \;: \; \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^2$ , sodass jeder Punkt des $\mathbb{R}^3$ parallel zur z-Achse auf die xy-Ebene projeziert wird. Geben Sie f in Matrixdarstellung an! Nr. 4222
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Lösungsweg Dafür gibt es eine hilfreiche Eselsbrücke: "Willst die Matrix du erhalten, schreibe die Bilder (der Einheitsvektoren) in die Spalten!" Das heißt, man muss überlegen, was mit den drei Einheitsvektoren des $\mathbb{R}^3$ unter der Wirkung von f passiert. Betrachtet man z.B. $\vec{e_1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ , so wird dieser auf die xy-Eben projeziert, verliert also nur seine dritte Komponente: $f(\vec{e_1}) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ Analoges gilt für $\vec{e_2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ : $f(\vec{e_2}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)$ Bei $\vec{e_3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)$ sieht es etwas anders aus, da ja parallel zur z-Achse in die Ebene hinunter projeziert wird (jeder Punkt, der eine z-Koordinate hat, endet also in der Ebene z=0, allerdings mit denselben x und y Koordinaten): $f(\vec{e_3}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ Für die Abbildungsmatrix müssen wir nun noch die drei Bilder der Einheitsvektoren zusammensetzen: $A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

3 erreichbare Punkte

Ist die Abbildung linear? $f: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ $\left(x_1 \\x_2 \\x_3\right) \to \left( 3x_1^2 +x_2 \\ x_3\right)$ Nr. 4090
	Ja
	Nein, weil $f(x+y) \neq f(x)+f(y)$
	Nein, weil ein Quadrat vorkommt
	Nein, weil $f(ax) \neq a f(x)$
Lösungsweg Gegenbeispiel: $x=\left(1\\1\\1\right)$ $f(x+x)=f(2x)=\left(3\cdot 4+2\\2\right)= \left(14 \\ 2\right)$ $f(x)+f(x)=2 f(x)= 2 \left(3\cdot 1+1 \\ 1\right)=\left(8\\2\right)$

4 erreichbare Punkte

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^2 \rightarrow \mathb{R}^3$ ? Nr. 5034
	2x3
	3x2
	3x3
	2x2
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 3x2 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$ definiert.

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Matrix A (mit f(x)=Ax) der linearen Abbildung $f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x_1 \\ 5x_2 \end{pmatrix}$ Nr. 3937
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Die Spalten der Matrix A sind $f(e_1)$ und $f(e_2)$ $f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

3 erreichbare Punkte

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^3 \rightarrow \mathb{R}^4$ ? Nr. 5036
	3x3
	3x4
	4x4
	4x3
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 4x3 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ definiert.

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$ Nr. 4217
	linear
	nicht linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Überprüfen Sie zunächst Bedingung 1: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0) = (0-0, 0) = (0, 0) = \vec{0}$ Bedingung 2: $f(v_1) + f(v_2) =(x_1 - x_2, x_2) + (y_1 - y_2, y_2) = (x_1 - x_2 + y_1 - y_2, \; x_2 + y_2)$ $f(v_1 + v_2) = f( x_1 + y_1, x_2 +y_2) =(x_1 + y_1 - x_2 - y_2, \; x_2 +y_2)$ Bedingung 2 ist also erfüllt. Nun Bedingung 3: $f( \lambda v_1) = f( \lambda x_1, \lambda x_2) =\\ = ( \lambda x_1 - \lambda x_2, \; \lambda x_2)= \\ = (\lambda (x_1 - x_2), \; \lambda x_2) = \\ = \lambda (x_1 - x_2, \; x_2) = \lambda f(v_1)$ Somit sind alle 3 Bedingungen erfüllt und die Abbildung ist linear.

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist:

$f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$

Nr. 4217

linear

nicht linear

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

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