Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 6 Fragen zu Lineare Gleichungssysteme.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4718
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Aus der 3. Zeile folgt $4x_3 = 1$ und somit $x_3=3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Einsetzen von $x_3=3$ in die 1. Zeile ergibt $x_2 + 3x_3 = x_2 + 9 = 0$ und somit $x_2=2$ . Einsetzen von $x_2 = 2$ in die 2. Zeile ergibt $5x_1+ 2x_2 = 5x_1 + 4 = 9$ und somit $x_1=1$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

4 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem (z.B. mit Hilfe des Eliminationsverfahrens nach Gauß): $x+y+z = 5 \\ x - y = -1$ Nr. 4225
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1.5\\ 2.5 \\ 1 \\ \end{array}\right)$
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2\\ 3 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -0.5\\ -0.5 \\ 1 \\ \end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2 +t\\ 3 - t \\ t \\ \end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$
Lösungsweg In Matrixschreibweise lautet das System wie folgt: $A \cdot \vec{x}= \vec{b}, \text{ was in diesem Fall folgendes ist: }$ $\left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{r} x \\ y\\ z \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ -1 \\ \end{array}\right)$ Die gängige Schreibweise nach dem Gauß Eliminationsverfahren sieht wie folgt aus: $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\\end{array}$ Es bietet sich an, die erste Zeile von der zweiten Zeile abzuziehen: $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\\end{array}$ $\mapsto$ $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -2 & -1 & -6 \\\end{array}$ Aus der letzten Zeile erkennt man, dass ein freier Parameter gewählt werden muss: $z=t$ Nun erhält man: $-2y -z = -6 \\ \mapsto -2y - t = -6 \mapsto -2y=-6+t \mapsto y=3-0.5t$ Aus der ersten Zeile erhält man: $x+y+z=5 \\ \mapsto x=5-y-z = 5-(3-0.5t)-t = 2 +0.5t -t = 2-0.5t$ Somit ist die Lösung: $\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2\\ 3 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} -0.5\\ -0.5 \\ 1 \\ \end{array}\right)$

3 erreichbare Punkte

Lösen Sie das Gleichungssystem $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$ Nr. 2289
	$x=2$
	$y=0.1$
	$x=3.5$
	$y=1.3$
	$x=2.3$
Lösungsweg Möglichkeit 1 $1x -3y =2 \\ 2x +4y= 5$ $x=2+3y$ $2(2+3y)+4y=5$ $y=0.1$ $x=2.3$ Möglichkeit 2 $\begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} ^{-1}=$ $\frac{1}{1 \cdot 4 - (-3 \cdot 2)} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 & 0.3 \\ -0.2 & 0.1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.4 & 0.3 \\ -0.2 & 0.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.3 \\ 0.1 \end{pmatrix}$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie das Gleichungssystem $\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ Nr. 2291
	$y=\frac 16$
	$x=5$
	$y=0$
	$x=1.2$
	$y=\frac 23$
Lösungsweg $-1x + 4 y = -2 \\ 1x + 2 y= 3$ => $x=3-2y$ $-3+2y+4y=-2$ $y=1/6$ $x=8/3$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem (z.B. mit Hilfe des Eliminationsverfahrens nach Gauß): $x+2y+3z = 1 \\ 2x + 5y +8 z =2$ Nr. 4224
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 1 \\ \end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1\\ -2t \\ t \\ \end{array}\right)$ mit $t \in \mathbb{R}$
	$\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 1 \\ \end{array}\right)$
Lösungsweg Die gängige Schreibweise nach dem Gauß Eliminationsverfahren sieht wie folgt aus: $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 8 & 2 \\\end{array}$ (und ist die Kurzschreibweise für $A \cdot \vec{x}= \vec{b}, \text{ was in diesem Fall folgendes ist: }$ $\left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{r} x \\ y\\ z \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ \end{array}\right)$ ) Durch sogenannte Zeilen-/Stufenumformungen kann das System gelöst werden. Hier bietet es sich an, von der zweiten Zeile zweimal die erste Zeile abzuziehen: neue II. Zeile = II. Zeile - 2*I.Zeile $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 8 & 2 \\\end{array}$ $\mapsto$ $\begin{array}{rrr\|r} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ \end{array}$ Hieraus kann man folgende Gleichung ablesen: $y +2z = 0 \mapsto y=-2z$ , das Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar, es gibt einen freien Parameter. Also: $z=t$ Daraus folgt: $y=-2t$ Aus der ersten Zeile erhält man nun: $x+2y+3z = 1 \\ \mapsto x=1-2y-3z=1-2(-2t)+3t = 1+4t-3t =1+t$ Die Lösung lautet also: $\left( \begin{array}{c} x\\ y \\ z\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 1\\ -2 \\ 1 \\ \end{array}\right)$

3 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4719
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 5 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 4 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Auflösen der 1. Zeile nach $x_1$ ergibt $2x_1 = 6-x_3$ und somit $x_1 = 3-6x_3 = 3+5x_3$ (denn 6 ist das Inverse von 2 modulo 11). Auflösen der 2. Zeile nach $x_2$ ergibt $x_2 = -2x_3$ . Einsetzen der Gleichungen für $x_1$ und $x_2$ in die 3. Zeile ergibt $3+5x_3 - 2x_3 + x_3 = 3+4x_3 = 4$ und somit $x_3 = 4^{-1}\cdot 1 = 3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Daraus folgt $x_1 = 3+5 \cdot 3 = 7$ und $x_2 = -2 \cdot 3 = 5$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

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