Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Komplexwertige Funktionen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Gegeben ist folgende komplexwertige Funktion: $f(z) = z - \sqrt[3]{-1-4i}$ mit $z \in \mathbb{C}$ . Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion! Geben Sie die Lösung in Polarform an! Nr. 4301
	$z_0 = 17 \big( \cos (25.32^\circ )+ i\cdot \sin (25.32^\circ) \big)$ $z_1 = 17 \big( \cos (145.32^\circ )+ i\cdot \sin (145.32^\circ) \big)$
	$z = \sqrt{17} \big( \cos (25.32^\circ )+ i\cdot \sin (25.32^\circ) \big)$
	$z_0 = \sqrt[3]{17} \big( \cos (25.32^\circ )+ i\cdot \sin (25.32^\circ) \big)$ $z_1 = \sqrt[3]{17} \big( \cos (145.32^\circ )+ i\cdot \sin (145.32^\circ) \big)$ $z_2 = \sqrt[3]{17} \big( \cos (385.32^\circ )+ i\cdot \sin (385.32^\circ) \big)$
	$z_0 = \sqrt[6]{17} \big( \cos (85.32^\circ )+ i\cdot \sin (85.32^\circ) \big)$ $z_1 = \sqrt[6]{17} \big( \cos (205.32^\circ )+ i\cdot \sin (205.32^\circ) \big)$ $z_2 = \sqrt[6]{17} \big( \cos (325.32^\circ )+ i\cdot \sin (325.32^\circ) \big)$
Lösungsweg Zu lösen ist also folgende Gleichung: $z - \sqrt[3]{-1-4i} = 0 \\ \rightarrow z =\sqrt[3]{-1-4i}$ Für das n-te Wurzelziehen einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \big( \cos \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} + i\cdot \sin \frac{ \varphi + k\cdot 360^\circ}{n} \big)$ , wobei $r = \mid z \mid$ , $\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}$ und $k = 0, 1, 2,...., n-1$ . Das heißt, zuerst müssen $r$ und $\varphi$ bestimmt werden: Da z im dritten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt: $\varphi = \arctan \Big( \frac{-4}{-1} \Big) + 180^\circ = 255.96^\circ$ $r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2}= \sqrt{17}$ Sie erhalten 3 Lösungen: $z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 0\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 0\cdot 360^\circ}{3} \big)$ $z_0 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (85.32^\circ )+ i\cdot \sin (85.32^\circ) \big)$ $z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 1\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 1\cdot 360^\circ}{3} \big)$ $z_1 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (205.32^\circ )+ i\cdot \sin (205.32^\circ) \big)$ $z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos \frac{255.96^\circ+ 2\cdot 360^\circ}{3} + i\cdot \sin \frac{ 255.96^\circ + 2\cdot 360^\circ}{3} \big)$ $z_2 = \sqrt[3]{\sqrt{17}} \big( \cos (325.32^\circ )+ i\cdot \sin (325.32^\circ) \big)$

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist folgende komplexwertige Funktion: $f(z) = \sqrt[4]{z} - 2 + i$ mit $z \in \mathbb{C}$ . Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion! Rechnen Sie in Polarform und geben Sie die Lösung in algebraischer Form an! (Runden Sie das Endergebnis falls nötig auf ganze Zahlen) Nr. 4304
	$z_0 = -7 -24i$
	$z_0 = -1 -2i$
	$z_0 = -7 -24i$
	$z_0 = 22 -11i$
Lösungsweg Zu lösen ist also folgende Gleichung: $\sqrt[4]{z} - 2 + i = 0 \\ \rightarrow z = (2-i)^4$ Für das Potenzieren einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt: $z^n = r^n \big( \cos (n \cdot \varphi) + i\cdot \sin (n \cdot \varphi ) \big)$ , wobei $r = \mid z \mid$ , $\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}$ . Das heißt, zuerst müssen $r$ und $\varphi$ bestimmt werden: Da z im vierten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt: $\varphi = \arctan \Big( \frac{-1}{2} \Big) + 360^\circ = 333.43^\circ$ $r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{2^2+(-1)^2}= \sqrt{5}$ Sie erhalten als Nullstelle der Funktion die folgende Lösung: $z_0 = \sqrt{5}^4 \big( \cos (4 \cdot 333.43^\circ) + i\cdot \sin (4 \cdot 333.43^\circ) \big)$ $z_0 = 25 \big( \cos (1333.72^\circ) + i\cdot \sin (1333.72^\circ) \big)$ $z_0 = -7 -24i$

4 erreichbare Punkte

Geben Sie eine komplexwertige Funktion an, die folgende Nullstellen bestitzt: $z_1 = 2+i \\ z_2 = -3$ Nr. 4306
	$f(z) = 6z-7i +3$
	$f(z) = z^3 +(2-4i)^2 -6z -3i +5$
	$f(z) = z^2 -iz +7$
	$f(z) = z^2 +(1-i)z -6 -3i$
	$f(z) = z^2 -1+iz +3i$
Lösungsweg Die Satzgruppe von VIETA gilt auch für die Menge der komplexen Zahlen. Hier ist der dritte Satz hilfreich: $(z-z_1)(z-z_2) = z^2 + p z + q = f(z)$ , wobei $z_1$ und $z_2$ Nullstellen der Funktion $f(z)$ sind. Also erhalten Sie: $(z-z_1)(z-z_2) = (z- (2+i ))(z- (-3)) = (z-2-i)(z+3) =$ $z^2+3z-2z-6-iz-3i = z^2 + z -iz -6-3i = z^2 +(1-i)z -6 -3i$ $\rightarrow f(z) = z^2 +(1-i)z -6 -3i$

5 erreichbare Punkte

Welche Funktion transformiert die durch das grüne Quadrat dargestellte Menge auf das blaue Quadrat? Nr. 4087
	f(z)=z-2+3i
	f(z)=z+2-3i
	f(z)= z(-2+3i)
	f(z)= z(2i3i)

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden komplexwertigen Funktion: $f(x) = 4x^2 - 12x + 34, \; x \in \mathbb{C}$ Nr. 4297
	$x_{1} = \frac{3}{2} + i \cdot \frac{5 }{2}$ $x_{2} = \frac{3}{2} - i \cdot \frac{5 }{2}$
	$x_{1} = 3+ 5 i$ $x_{2} = -3+ 5 i$
	$x_{1} = 1-4 i$ $x_{2} = -1+4i$
	$x_{1} = \frac{7}{2} + i \cdot \frac{\sqrt{5} }{2}$ $x_{2} = - \frac{7}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{5} }{2}$
Lösungsweg Gelöst werden muss die Gleichung: $4x^2 - 12x + 34= 0$ Dies kann mit Hilfe der großen Lösungsformel getan werden: $ax^2 +bx + c= 0 \rightarrow x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$ Also in diesem Fall: $x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 4 \cdot 34} }{2\cdot 4} = \frac{12 \pm \sqrt{-400} }{8}$ $x_{1} = \frac{12 }{8} + i \cdot \frac{\sqrt{400} }{8} = \frac{12}{8} + i \cdot \frac{20 }{8} = \frac{3}{2} + i \cdot \frac{5 }{2}$ Da die beiden Lösungen immer komplexkonjugiert sind, folgt sofort: $x_{2} = \frac{3}{2} - i \cdot \frac{5 }{2}$

4 erreichbare Punkte

Geben Sie eine komplexwertige Polynomfunktion an, die folgende Nullstellen bestitzt: $z_1 = 2-i \\ z_2 = 1-i$ Nr. 4305
	$f(z) = -2z+1$
	$f(z) = 4z^2 +(7-2i)z +13$
	$f(z) = z^2 -3z +1-3i$
	$f(z) = z^2 +(-3+2i)z +1-3i$
	$f(z) = z^3 +(3-4i)z^2 +(1+5i)z -7+3i$
Lösungsweg Die Satzgruppe von VIETA gilt auch für die Menge der komplexen Zahlen. Hier ist der dritte Satz hilfreich: $(z-z_1)(z-z_2) = z^2 + p z + q = f(z)$ , wobei $z_1$ und $z_2$ Nullstellen der Funktion $f(z)$ sind. Also erhalten Sie: $(z-z_1)(z-z_2) = (z- (2-i ))(z- (1-i)) = (z-2+i)(z-1+i) =$ $= z^2 -z + iz -2z +2 -2i +iz -i +i^2 = z^2 +2iz -3z +1 -3i = z^2 +(-3+2i)z +1-3i$ $\rightarrow f(z) = z^2 +(-3+2i)z +1-3i$

5 erreichbare Punkte

Welche Funktion transformiert die durch das grüne Quadrat dargestellte Menge auf das blaue Quadrat? Nr. 4086
	f(z)=z+1+i
	f(z)=(1+i)z
	f(z)=2z+i
	f(z)=z(2-i)

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist folgende komplexwertige Funktion: $f(z) = \sqrt[3]{z} + 2 + i$ mit $z \in \mathbb{C}$ . Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion! Geben Sie die Lösung in Polarform an! Nr. 4303
	$z \approx \sqrt{5}\big( \cos (\frac{206.57^\circ}{3}) + i\cdot \sin (\frac{206.57^\circ}{3}) \big)$
	$z \approx \sqrt{5}^3\big( \cos (26.57^\circ) + i\cdot \sin (26.57^\circ) \big)$
	$z \approx \sqrt{5}\big( \cos (206.57^\circ) + i\cdot \sin (206.57^\circ) \big)$
	$z \approx 5\sqrt{5}\big( \cos (619.71^\circ) + i\cdot \sin (619.71^\circ) \big)$
Lösungsweg Zu lösen ist also folgende Gleichung: $\sqrt[3]{z} + 2 + i = 0 \\ \rightarrow z = (-2-i)^3$ Für das Potenzieren einer allgemeinen komplexen Zahl z bietet sich die Polarform an. Denn dann gilt: $z^n = r^n \big( \cos (n \cdot \varphi) + i\cdot \sin (n \cdot \varphi ) \big)$ , wobei $r = \mid z \mid$ , $\varphi = \arctan \frac{ \text{Im(z)}}{\text{Re(z)}}$ . Das heißt, zuerst müssen $r$ und $\varphi$ bestimmt werden: Da z im dritten Quadranten der komplexen Zahleneben liegt, gilt: $\varphi = \arctan \Big( \frac{-1}{-2} \Big) + 180^\circ = 206.57^\circ$ $r = \mid z \mid = \sqrt{ \text{ Re(z)}^2 + \text{Im(z)}^2} = \sqrt{(-1)^2+(-2)^2}= \sqrt{5}$ Sie erhalten als Nullstelle der Funktion die folgende Lösung: $z_0 = \sqrt{5}^3 \big( \cos (3 \cdot 206.57^\circ) + i\cdot \sin (3 \cdot 206.57^\circ) \big)$ $z_0 = 5\sqrt{5}\big( \cos (619.71^\circ) + i\cdot \sin (619.71^\circ) \big)$

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