Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Umrechnung Normalform- Polarform.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie die Polarform von $z= 10+ 11i$ . Nr. 3982
	$\sqrt{221} \cdot (cos( 47,7) + i \cdot sin( 47,7))$
	$\sqrt{21} \cdot (cos( 77,4) + i \cdot sin( 77,4))$
	$\sqrt{22} \cdot (cos( 147) + i \cdot sin( 147))$
	$21 \cdot (cos( 45,6) + i \cdot sin( 45,6))$
Lösungsweg $z= 10+ 11i$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{10^2+11^2} = \sqrt{221}$ da a>0: $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})$ $\varphi=arctan\left (\frac{11}{10}\right ) \approx 47,7$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{221} \cdot (cos( 47,7) + i \cdot sin( 47,7))$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= 1 + 4i$ . Nr. 3985
	$\sqrt{14} \cdot (cos( 6,3) + i \cdot sin(6,3))$
	$\sqrt{7} \cdot (cos( -7,6) + i \cdot sin( -7,6))$
	$17 \cdot (cos( 176) + i \cdot sin( 176))$
	$\sqrt{17} \cdot (cos( 76) + i \cdot sin( 76))$
Lösungsweg $z= 1 + 4i$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$ da a>0: $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})$ $\varphi=arctan\left (\frac{4}{1}\right ) \approx 76$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{17} \cdot (cos( 76) + i \cdot sin( 76))$

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist die komplexe Zahl $z=\frac{1}{3+3i}$ . Geben Sie z in der Polarform an. Nr. 4198
	$z=\frac{2}{36} \Big( \cos(\frac{7\pi}{4}) - i\sin(\frac{7\pi}{4}) \Big)$
	$z=\frac{\sqrt{2}}{6} \Big( \cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4}) \Big)$
	$z=3 \Big(\cos(\frac{-\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}) \Big)$
Lösungsweg $z = \frac{1}{3+3i} = \frac{1}{3+3i} \cdot \frac{3-3i}{3-3i} = \frac{3-3i}{(3+3i)(3-3i)} = \frac{3-3i}{9+9i-9i-9i^2} = \frac{3-3i}{9+9} = \frac{3-3i}{18} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6}i$ Nun wird der Betrag der komplexen Zahl bestimmt: $r = \|z\| = \sqrt{ (\frac{1}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2} = \sqrt{ \frac{2}{36}} = \frac{ \sqrt{2}}{6}$ Als nächstes bestimmt man das Argument der komplexen Zahl: $\varphi = \arctan \Big( \frac{Im(z)}{Re(z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{ -\frac{1}{6} }{\frac{1}{6}} \Big) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ Da der Winkel negativ ist (was einer Drehung im negativen Sinn entspricht), ist es üblich, den Winkel positiv anzugeben: $\varphi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ Nun hat man die Polardarstellung: $z = r (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi)) = \frac{ \sqrt{2}}{6} \Big( \cos( \frac{7\pi}{4}) + i\sin( \frac{7\pi}{4}) \Big)$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= \sqrt{8}+ i\sqrt{8}$ . Nr. 3973
	$4 \cdot (cos(45) + i \cdot sin(45))$
	$(cos(8) + i \cdot sin(8))$
	$\sqrt{8} \cdot (cos(35) + i \cdot sin(35))$
	$cos(4)+i\sqrt{8}$
Lösungsweg $z= \sqrt{8}+ i\sqrt{8}$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{(\sqrt{8})^2+(\sqrt{8})^2}=\sqrt{16}=4$ da a>0: $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})$ $\varphi=arctan(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}})=arctan(1)=45$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 4 \cdot (cos(45) + i \cdot sin(45))$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= -\frac{1}{2}+i\sqrt{6}$ . Nr. 3990
	$\frac{1}{2} \cdot (cos(154) + i \cdot sin(154))$
	$\frac{3}{2} \cdot (cos(104) + i \cdot sin(104))$
	$\frac{5}{2} \cdot (cos(101,54) + i \cdot sin(101,54))$
	$\frac{15}{12} \cdot (cos(10,4) + i \cdot sin(10,4))$
Lösungsweg $z= -\frac{1}{2}+i\sqrt{6}$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+ (\sqrt6)^2} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ da $a<0 \qquad und \qquad b>0$ : $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi$ $\varphi=arctan\left (\frac{\sqrt6}{-\frac{1}{2}}\right )+ \pi= arctan(-2 \cdot \sqrt6)+180 \approx 101,54$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \frac{5}{2} \cdot (cos(101,54) + i \cdot sin(101,54))$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= 3+4i$ . Nr. 3979
	$15 \cdot (cos(153) + i \cdot sin(153))$
	$53,1 \cdot (cos(7) + i \cdot sin(7))$
	$5 \cdot (cos(53,1) + i \cdot sin(53,1))$
	$8 \cdot (cos(58,3) + i \cdot sin(58,3))$
Lösungsweg $z= 3+4i$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ da a>0: $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})$ $\varphi=arctan\left (\frac{4}{3}\right )= 53,1$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 5 \cdot (cos(53,1) + i \cdot sin(53,1))$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}$ . Nr. 3977
	$1,32 \cdot (cos(112) + i \cdot sin(112))$
	$32 \cdot (cos(250) + i \cdot sin(250))$
	$6,2 \cdot (cos(24,7) + i \cdot sin(24,7))$
	$12 \cdot (cos(4,8) + i \cdot sin(4,8))$
Lösungsweg $z=- \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{6}}{2}$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{(-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2} = \sqrt{\frac{7}{4}}$ da $a<0 \qquad und \qquad b>0$ : $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi$ $\varphi=arctan\left (\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{-\frac{1}{2}}\right )+ \pi= -67,8+180\approx 112$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= 1,32 \cdot (cos(112) + i \cdot sin(112))$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Polarform von $z= -\frac{1}{3}+i4$ . Nr. 3988
	$\sqrt{\frac{145}{9}} \cdot (cos(94,76) + i \cdot sin(94,76))$
	$15 \cdot (cos(76) + i \cdot sin(76))$
	$\frac{14}{3} \cdot (cos(4,6) + i \cdot sin(4,6))$
	$4,7 \cdot (cos(176) + i \cdot sin(176))$
Lösungsweg $z= -\frac{1}{3}+i4$ Polarform einer komplexen Zahl: $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))$ $r=\|z\|=\sqrt{a^2+b^2}$ $r=\sqrt{(-\frac{1}{3})^2+4^2} = \sqrt{\frac{145}{9}}$ da $a<0 \qquad und \qquad b>0$ : $\varphi=arg(z)=arctan(\frac{b}{a})+ \pi$ $\varphi=arctan\left (\frac{4}{-\frac{1}{3}}\right )+ \pi= arctan(-12)+180 \approx 94,76$ $z=r \cdot (cos(\varphi) + i \cdot sin(\varphi))= \sqrt{\frac{145}{9}} \cdot (cos(94,76) + i \cdot sin(94,76))$

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