Der Winkel \(\varphi\) zwischen einer Ebene und einer Geraden kann mit Hilfe der Vektor-Winkel-Formel berechnet werden:

Um also \(\varphi\) zu erhalten, mussen wir zuerst den vom Richtungsvektor der Geraden und vom Normalvektor der Ebene eingeschlossenen Winkel berechnen. Im Anschluss ziehen wir diesen Winkel dann von \(90^\circ\) ab und erhalten somit den Winkel zwischen der Geraden und der Ebene. 

\(\cos\angle(\vec{n};\vec{g}) = \vec{g_0} \cdot \vec{n_0}\)  , wobei \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden mit Länge 1 und \(\vec{n_0}\) der Normalvektor der Ebene mit Länge 1 ist.

Das heißt:

\(\cos\angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac { \vec{g} \cdot \vec{n} }{ \mid \vec{g} \mid \cdot \mid \vec{n} \mid }\)

Der Normalvektor kann direkt aus der Ebenengleichung abgelesen werden:

\(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)

\(\mid \vec{n} \mid = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)

Der Richtungsvektor der Geraden lautet:

\(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\)

\(\mid \vec{g} \mid = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49} = 7\)

Außerdem wird das Skalarprodukt von \(\vec{g}\) mit \(\vec{n} \) benötigt:

\(\vec{g} \cdot \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) = 4 -6 +6 = 4\)

\(\rightarrow \cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac{4}{7 \cdot 3} = \frac{4}{21}\)

\( \cos^{-1} \Big( \frac{4}{21} \Big) \approx 79,019^\circ\)

Somit folgt für \(\varphi\)

\(\varphi=90^\circ-79,019^\circ\approx10,98^\circ\)

Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten:

1. parallel
2. identisch
3. schneidend
4. windschief (=kreuzend)

Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\)   und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Diese beiden Vektoren sind kein Vielfaches voneinander, somit sind die Geraden weder parallel noch identisch.

Um zwischen dem dritten und vierten Fall zu unterscheiden, muss untersucht werden, ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt S haben:

\(g_1 \cap g_2 \stackrel{?}{=} \{ S\}\)

\(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\)

Daraus erhält man drei lineare Gleichungen für s und t.

\( 1 + t = -s \\ -2 t = 1 + s \\ 3t = 1\)

Zur Berechnung der beiden Parameter reichen zwei Gleichungen aus, hier werden die zweite und die dritte gewählt

\(3t = 1 \rightarrow t = \frac{1}{3}\)   

\(\rightarrow -2 \cdot \frac{1}{3} = 1 +s \rightarrow s = -\frac{1}{3}\)

Nun gilt es, zu überprüfen ob mit diesen beiden Parameterwerten auch die erste Zeile erfüllt ist:

\( 1 + \frac{1}{3} \; \neq -(-\frac{1}{3})\)

Die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt, sie sind windschief.

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dafür kann aus der Koordinatenform der Normalvektor abgelesen werden. Diesen kann man dann zu einem Richtungsvektor umwandeln:

\(g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)\)  \(\rightarrow \vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Nun können die beiden Richtungsvektoren verglichen werden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {8} \\ {6} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Es kann sofort erkannt werden, dass gilt: \(\vec{g_1} = 2 \cdot \vec{g_2}\)

Die Geraden sind somit entweder parallel oder identisch.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\rightarrow \; 3\cdot (-1) - 4\cdot 1 = -3 - 4 = - 7 \neq 16\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \)  

Die Geraden sind parallel.

Parameterform: Ein Punkt und zwei Richtungsvektoren

\(\vec{PQ}=\left(1\\-1\\-3\right)\)

\(\vec{PR}=\left(2\\0\\-1\right)\)

Der Abstand kann mit Hilfe der Hesse'schen Normalabstandsformel berechnet werden:

\(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\), wobei \(A \in g\) und \(\vec{n_0} \perp g\).

Aus der Parameterform können Sie den Punkt A direkt ablesen:

\( A = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Den Normalvektor erhalten Sie mit Hilfe des Richtungsvektors \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\):

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right)\)

\(\vec{n_0} \) ist der Einheits-Normalvektor. Somit muss \(\vec{n}\) noch normiert werden:

\(\vec{n_0} = \frac{ \vec{n} }{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-1)^2 +3^2} }\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\frac{1}{ \sqrt{ 10 }} \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right)\)

Somit:

\(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {0.5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2.5} \end{array}\right)\)  

\(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \frac{1}{\sqrt{10}} \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2.5} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \end{array}\right) \mid \)
 

\(d(P, \; g) = \mid \frac{1}{\sqrt{10}} \Big( (-3) \cdot (-1 ) + 2.5 \cdot 3 \Big) \mid = \mid \frac{3+7.5}{\sqrt{10}} \mid = \frac{10.5}{\sqrt{10}}\)

Da der Punkt auf der Geraden liegen soll, muss folgendes gelten:

\(\left(\begin{array}{c} {x} \\ {0.5} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\)

Aus der zweiten Zeile kann t berechnet werden:

\(0.5 = -2 - t \; \rightarrow \; t = -2.5\)

Somit kann nun die x- Komponente des Punktes berechnet werden:

\(x = 2 + (-2.5) \cdot 3 = 2 - 7.5 = -5.5\)

Der Punkt lautet also:

\(P = \left(\begin{array}{c} {-5.5} \\ {0.5} \end{array}\right)\)

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)  und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\)

Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren parallel sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind):

Für die x-Komponente der Vketoren gilt: \(1 \cdot (-4) = -4\)

Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-2 \cdot (-4) = 8\)

Die beiden Richtungsvektoren sind also Vielfache voneinander, d.h. die Geraden sind somit entweder parallel oder ident.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt, auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\)

Aus der ersten Zeile erhalten Sie:

\(-1 = 3 -4s \rightarrow s =1\)

Aus der zweiten Zeile erhalten Sie:

\(1 = -5 + 8s \rightarrow s= \frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \)  

Die Geraden sind parallel.

Da die Gerade normal auf g stehen soll, müssen Sie einen Normalvektor des Richtungsvektors \(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) bilden:

zum Beispiel \(\vec{n}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\), dieser Vektor zeigt nun entlang der neuen Geraden und dient somit als neuer Richtungsvektor

Nun müssen nur noch der neue Richtungsvektor und der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden:

\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {1} \\ {3} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).