Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Analytische Geometrie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Rechnen Sie von der Parameterform in die expizite Form y=kx+d um \(\vec x= \left( 2 \\3 \right) + s \left( 1 \\4 \right)\) Nr. 4052
	y=x+2
	y=4x-3
	y=4x-5
	y=4x+5
Lösungsweg Aus dem Steigungsdreieck (1,k) folgt sofort k=4. Setzt man den Punkt (2,3) und k=4 in y=kx+d ein, folgt sofort d=-5.

4 erreichbare Punkte

Geben Sie die Gerade durch A und B in Parameterform an, sodass der Richtungsvektor möglichst kleine, ganzzahlige Koordinaten aufweist! \(A =\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right)\), \(B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)\) Nr. 4279
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {8} \\ {4} \\ {2} \end{array}\right)\)
	\(g: \; X = 6 + 2t\)
Lösungsweg Die allgemeine Parameterform einer Gerade g im \(\mathbb{R}^3 \) lautet: \(g: \; X= A + t \cdot \vec{g}\) , mit \(A \in g , \; t \in \mathbb{R}\) und \( \vec{g}\) ein Richtungsvektor. Zuerst muss der Richtungsvektor aufgestellt werden: \(\vec{g} = \vec{AB} = B - A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right)\) Der Richtungsvektor kann nun noch verkürzt werden (denn dabei ändert sich die Richtung des Vektors nicht, nur seine Länge): \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\) Sie können entweder den Punkt A oder den Punkt B in die Geradengleichung einsetzen. Hier wird A gewählt: \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)

4 erreichbare Punkte

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \(\mathbb{R}^3\) an: \(g_1: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). \(g_2: \; X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) , \(s \in \mathbb{R}\). Nr. 4282
	Die Geraden sind windschief.
	Die Geraden sind parallel.
	Die Geraden sind identisch.
	Die Geraden sind schneidend.
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es für die Lagebeziehung zweier Geraden folgende vier Möglichkeiten: parallel identisch schneidend windschief (=kreuzend) Analog zum zweidimensionalen Fall kann zwischen den ersten beiden und letzten beiden Fällen entschieden werden, indem zuerst die beiden Richtungsvektoren verglichen werden: \(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) Diese beiden Vektoren sind kein Vielfaches voneinander, somit sind die Geraden weder parallel noch identisch. Um zwischen dem dritten und vierten Fall zu unterscheiden, muss untersucht werden, ob die Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt S haben: \(g_1 \cap g_2 \stackrel{?}{=} \{ S\}\) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\) Daraus erhält man drei lineare Gleichungen für s und t. \( 1 + t = -s \\ -2 t = 1 + s \\ 3t = 1\) Zur Berechnung der beiden Parameter reichen zwei Gleichungen aus, hier werden die zweite und die dritte gewählt \(3t = 1 \rightarrow t = \frac{1}{3}\) \(\rightarrow -2 \cdot \frac{1}{3} = 1 +s \rightarrow s = -\frac{1}{3}\) Nun gilt es, zu überprüfen ob mit diesen beiden Parameterwerten auch die erste Zeile erfüllt ist: \( 1 + \frac{1}{3} \; \neq -(-\frac{1}{3})\) Die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt, sie sind windschief.

4 erreichbare Punkte

Geben Sie folgende Gerade, die hier in Normalvektorform gegeben ist, in Koordinatenform an: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0\) Nr. 4260
	\(2x + 4y = 6\)
	\(y = 3 - x\)
	\(2x - 4y = 10\)
	\(X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\)
Lösungsweg Die allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung lautet: \(ax + by =c\) wobei \(a , b , c \in \mathbb{R}\). Um diese Form zu erhalten, müssen Sie die gegebene Normalvektorform explizit ausmultiplizieren und umformen: \(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0\) \(\rightarrow \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = \)\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x +1} \\ {y - 2} \end{array}\right) = 2(x+1) + 4(y-2) = 0\) \(\rightarrow 2x + 2 + 4y - 8 = 0\) \(\rightarrow 2x + 4y = 6\)

4 erreichbare Punkte

Stellen Sie folgende Geradengleichung in Koordinatenform dar: \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nr. 4261
	\(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-7} \end{array}\right) = 0\)
	\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \Big( X + \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right) \Big) = 0\)
	\(3 x - 2 y = 5\)
	\(-3 x + 2 y = 5\)
Lösungsweg Die allgemeine Koordinatenform einer Geraden im \(\mathbb{R}^2\) lautet: \(ax + by =c\) wobei \(a , b , c \in \mathbb{R}\). Um diese Form zu erhalten, haben Sie zwei Möglichkeiten: Sie kennen die direkte Beziehung zwischen den Größen der Parameterform und denen der Koordinatenform:\(a=-g_{2} \; , \; b=g_{1} \; , \; c=p_{1} a+p_{2} b\) Sie lesen aus der Parameterdarstellung den Richtungsvektor \(\vec{g} \) ablesen und bilden dann den Normalvektor \(\vec{n} \). Danach berechnen Sie über die Normalvektorform die Koordinatenform. Ad 1.) Aus der Paramterform \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\) lesen Sie den Richtungsvektor \(\vec{g}\) ab: \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {g_1} \\ {g_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\) \(\rightarrow a = -3\) und \(b=2\) Der Punkt P lautet wie folgt: \(P = \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\) Somit erhalten Sie für c: \(c = 3 \cdot ( -3 ) + 7 \cdot 2 = -9 + 14 = 5\) Die Koordinatenform lautet also: \(-3 x + 2 y = 5\) Ad 2.) Zuerst wird der Normalvektor der Geraden bestimmt: \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) \rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)\) Dann kann in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden: \(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \), wobei \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\) Also: \(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right) \Big) = 0\) \(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-7} \end{array}\right) = 0\) \(3 (x-3) -2(y-7) = 0\) \(3x - 9 - 2y + 14 = 0\) \(\rightarrow 3x -2y = -5\) bzw. \(-3x + 2y = 5\)

4 erreichbare Punkte

Prüfen Sie, ob die folgenden drei Punkte auf einer Geraden liegen: \(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\), \(B = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)\), \(C = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\) Nr. 4267
	Die Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.
	Die Punkte liegen auf einer Geraden.
Lösungsweg Dafür kann zuerst eine Gerade durch zwei der drei Punkte aufgestellt werden. Wählen Sie z.B. die Punkte A und B und stellen Sie den Richtungsvektor auf und dann die Parameterform: \(\vec{g} = B - A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right)\) \(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}.\) Nun muss überprüft werden, ob C auf dieser Geraden liegt: \( \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-1} \end{array}\right) \) Aus der ersten Zeile folgt: \(-1 = 1 -2t \; \rightarrow t=1\) Aus der zweiten Zeile folgt: \(-3 = -t \; \rightarrow \; t=3\) Das ist aber ein Widerspruch zum obigen Ergebnis. Die drei Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.

Prüfen Sie, ob die folgenden drei Punkte auf einer Geraden liegen:

\(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)\), \(B = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right)\), \(C = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Nr. 4267

Die Punkte liegen NICHT auf einer Geraden.

Die Punkte liegen auf einer Geraden.

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Von einem Dreieck ABC sind zwei Eckpunkte sowie der Schwerpunkt S bekannt. Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt! \(B =\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right),\; C =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right), \; S =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {3} \end{array}\right)\) Nr. 4278
	\(A = 3\cdot\left(\begin{array}{c} {3} \\ {5} \\ {4} \end{array}\right) \)
	\(A = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \\ {1} \end{array}\right) \)
	\(A = -\frac{1}{3} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)
	\(A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)
Lösungsweg Für den Schwerpunkt S eines Dreiecks gilt: \(S = \frac{1}{3} \big( A + B + C \big)\) Daraus erhalten Sie für den fehlenden Eckpunkt A: \(A = 3S - B - C\) Einsetzten ergibt: \(A = 3 \cdot \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right) - \)\(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right)\) \(A = \left(\begin{array}{c} {9+1-4} \\ {9+2-2} \\ {9+3-0} \end{array}\right) \) \(A = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {9} \\ {12} \end{array}\right) \)

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist folgende Gerade im \(\mathbb{R}^3\): \(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {5} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) , \(t \in \mathbb{R}\). Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt \(P = \left(\begin{array}{c} {24} \\ {5} \\ {-2} \end{array}\right)\) Nr. 4281
	\(d (P, \; g) = 45\)
	\(d (P, \; g) = \sqrt{ \frac{1009}{3} }\)
	\(d (P, \; g) = \sqrt{ \frac{25}{7} }\)
	\(d (P, \; g) = \frac{1009}{3}\)
	\(d (P, \; g) = 2051\)
Lösungsweg Im \(\mathbb{R}^3\) kann der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden folgendermaßen berechnet werden: \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid\) , wobei \(A \in g\) und \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden g mit Länge 1 ist. Somit: \(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {24} \\ {5} \\ {-2} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {5} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {23} \\ {5} \\ {-7} \end{array}\right)\) \(\vec{g_0} = \frac{1}{ \mid \vec{g} \mid } \cdot \vec{g} = \frac{1}{ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{6} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\) \(\vec{AP} \times \vec{g_0} = \frac{1}{ \sqrt{6} } \left(\begin{array}{c} {23} \\ {5} \\ {-7} \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{\sqrt{6}} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {16} \\ {41} \end{array}\right)\) \(d (P, \; g) = \mid \vec{AP} \times \vec{g_0} \mid = \mid \; \frac{1}{\sqrt{6}} \left(\begin{array}{c} {9} \\ {16} \\ {41} \end{array}\right) \; \mid\)\( = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{9^2+16^2+41^2} = \frac{ \sqrt{2018} }{\sqrt{6}} = \sqrt{ \frac{2018}{6}} = \sqrt{ \frac{1009}{3} }\)

5 erreichbare Punkte

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