Die allgemeine Normalvektorform lautet:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \)  bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\)

Da die neue Gerade normal auf die gegeben stehen soll, ist der Richtungsvektor \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) direkt der Normalvektor der neuen Geraden:

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Nun müssen nur noch der neue Punkt P und der Normalvektor in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden:

\(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0\)

Zuerst wird die Gerade in Parameterform bestimmt. Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet:

\(g: \; X = A + t \cdot \vec{g}\), wobei \(A \in g\), \( t \in \mathbb{R}\) und \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor der Geraden ist.

Zuerst wird der Richtungsvektor bestimmt:

\(\vec{g}= \vec{AB} = B -A = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \\ {-8} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\)

Für die Gerade folgt also:

\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\)

Daraus kann man für die drei Koordinaten folgende Gleichungen ablesen:

\(x = 2 + 2t \\ y = 3 -3t \\ z = -2 -6t\)

Mit diesen Gleichungen können die drei Koordinaten in der Ebenengleichung ersetzt werden:

\(\epsilon: \; 2x +2y-z = 8\)

\(\rightarrow 2(2+2t) +2(3-3t)-(-2-6t) = 8\)

\(4 + 4t + 6 - 6t + 2 + 6t = 8 \\ 12 + 4t = 8 \\ 4t = -4 \\ t = -1\)

Den Schnittpunkt erhalten Sie, indem Sie in der Parameterdarstellung der Geraden für t die Zahl (-1) einsetzen:

\(g: \; S = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + (-1) \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right)\)

\(S = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {6} \\ {4} \end{array}\right)\)

Stützvektor bleibt gleich

\(\vec p= \left( \begin{matrix} 1\\2\\3 \end{matrix} \right)\)

Richtungsvektoren

\(\vec u= \left( \begin{matrix} -n_2\\n_1\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2\\2\\0 \end{matrix} \right)\)

\(\vec v= \left( \begin{matrix} 0\\-n_3\\n_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0\\-1\\2 \end{matrix} \right)\)

\(x(a,b)= \left( \begin{matrix} 1-2a\\2+2a-1b\\3+2b \end{matrix} \right)\)

Die allgemeine Parameterform bzw. Parameterdarstellung einer Gerade im \(\mathbb{R}^2\) lautet:

\(g : \; X= P + t \cdot \vec{g} \) wobei P ein Punkt auf der Geraden, \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor und  \(t \in \mathbb{R}\) ist.

Da die Gerade druch A und B verlaufen soll, erhalten wir als Richtungsvektor einfach den Vektor von A nach B:

\(\vec{g} = B - A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) \)

Als Punkt auf der Geraden kann man entweder A oder B wählen, hier wird A gewählt:

\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).

Die allgemeine Koordinatenform einer Geraden im \(\mathbb{R}^2\) lautet:

\(ax + by =c\)  wobei \(a , b , c \in \mathbb{R}\).

Um diese Form zu erhalten, haben Sie zwei Möglichkeiten:

1. Sie kennen die direkte Beziehung zwischen den Größen der Parameterform und denen der Koordinatenform:\(a=-g_{2} \; , \; b=g_{1} \; , \; c=p_{1} a+p_{2} b\)
2. Sie lesen aus der Parameterdarstellung den Richtungsvektor \(\vec{g} \) ablesen und bilden dann den Normalvektor \(\vec{n} \). Danach berechnen Sie über die Normalvektorform die Koordinatenform. 

Ad 1.)

Aus der Paramterform

\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\)

lesen Sie den Richtungsvektor \(\vec{g}\) ab: \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {g_1} \\ {g_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)\)   \(\rightarrow a = -3\) und \(b=2\)

Der Punkt P lautet wie folgt:

\(P = \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\)

Somit erhalten Sie für c:

\(c = 3 \cdot ( -3 ) + 7 \cdot 2 = -9 + 14 = 5\)

Die Koordinatenform lautet also:

\(-3 x + 2 y = 5\)

Ad 2.)

Zuerst wird der Normalvektor der Geraden bestimmt:

\(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right) \rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right)\)

Dann kann in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \), wobei \(P = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right)\)

Also:

\(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {7} \end{array}\right) \Big) = 0\)

\(\left(\begin{array}{c} {3} \\ {-2} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {x-3} \\ {y-7} \end{array}\right) = 0\)

\(3 (x-3) -2(y-7) = 0\)

\(3x - 9 - 2y + 14 = 0\)

\(\rightarrow 3x -2y = -5\) bzw.  \(-3x + 2y = 5\)

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \end{array}\right)\)  und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\)

Nun wird überprüft, ob die beiden Richtungsvektoren parallel sind (also ob sie ein Vielfaches voneinander sind):

Für die x-Komponente der Vketoren gilt: \(1 \cdot (-4) = -4\)

Für die y-Komponente folgt jedoch: \(-2 \cdot (-4) = 8\)

Die beiden Richtungsvektoren sind also Vielfache voneinander, d.h. die Geraden sind somit entweder parallel oder ident.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt, auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \stackrel{?}{=} \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-5} \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {8} \end{array}\right)\)

Aus der ersten Zeile erhalten Sie:

\(-1 = 3 -4s \rightarrow s =1\)

Aus der zweiten Zeile erhalten Sie:

\(1 = -5 + 8s \rightarrow s= \frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \)  

Die Geraden sind parallel.

Der Abstand kann mit Hilfe der Hesse'schen Normalabstandsformel berechnet werden:

\(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\), wobei \(A \in g\) und \(\vec{n_0} \perp g\).

Aus der Parameterform können Sie den Punkt A direkt ablesen:

\(A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)\)

Den Normalvektor erhalten Sie mit Hilfe des Richtungsvektors \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)\):

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right)\)

\(\vec{n_0} \) ist der Einheits-Normalvektor. Somit muss \(\vec{n}\) noch normiert werden:

\(\vec{n_0} = \frac{ \vec{n} }{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 2^2 +1^2} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) =\)\(\frac{1}{ \sqrt{ 5} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) \)

Somit:

\(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {10} \\ {3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} {7} \\ {3} \end{array}\right)\)

\(d(P, \; g) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {7} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \frac{1}{ \sqrt{ 5} }\left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \end{array}\right) \mid \)

\(d(P, \; g) = \mid \frac{1}{\sqrt{5}} (7 \cdot 2 + 3\cdot 1) \mid = \mid \frac{17}{\sqrt{5}} \mid = \frac{17}{\sqrt{5}}\)

Zuerst wird die Gerade in Parameterform bestimmt. Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet:

\(g: \; X = A + t \cdot \vec{g}\), wobei \(A \in g\), \( t \in \mathbb{R}\) und \(\vec{g}\) ein Richtungsvektor der Geraden.

Zuerst wird der Richtungsvektor bestimmt:

\(\vec{g}= \vec{AB} = B -A = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) =\)\(\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Für die Gerade folgt also:

\(g: \; X = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\), mit \(t \in \mathbb{R}.\)

Daraus kann man für die drei Koordinaten folgende Gleichungen ablesen:

\(x = -1 + t \\ y = 3 -t \\ z = -3t \)

Mit diesen Gleichungen können die drei Koordinaten in der Ebenengleichung ersetzt werden:

\(\epsilon: \; -(x+2) +2(y+3)+4(z-1) = 0\)

\(\rightarrow -( -1+t +2 ) + 2(3-t +3) + 4(-3t-1) = 0\)

\(1-t-2 + 6-2t+6 -12t-4= 0 \\ 7 -15t = 0 \\ -15 t = -7 \\ t = \frac{7}{15}\)

Den Schnittpunkt erhalten Sie, indem Sie in der Parameterdarstellung der Geraden für t die Zahl 7/15 einsetzen:

\(g: \; S = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {0} \end{array}\right) + \frac{7}{15} \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-1} \\ {-3} \end{array}\right)\)

\(S = \frac{1}{15} \left(\begin{array}{c} {-8} \\ {38} \\ {-21} \end{array}\right) \)