Von der expliziten Form erhalten Sie zunächst die Koordinatenform:

\(y = 4x -3\)  \(\rightarrow -4x + y = -3\)

Sie können nun den Normalvektor direkt ablesen:

\(\rightarrow n_1=-4 \; , \; n_2=1\)

\(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right)\)

Die Allgemeine Normalvektorform lautet:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \)  bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\)

Vergleichen Sie die rechte Darstellung mit der Koordinatenform, so erkennen Sie, dass nun nur noch folgendes gelöst werden muss:

\(\vec{n} \cdot P = -3\)

\( \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = -3\)  \(\rightarrow -4p_1 + p_2 = -3\)

Wählen Sie z.B.  \(p_1 = 0\), dann erhalten Sie sofort:

\(p_2 = -3\)

Durch einsetzen in die allgemeine Normalvektorform erhalten Sie:

Sie erhalten also:

\(g: \; \; \left(\begin{array}{c} {-4} \\ {1} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0\)

Der Winkel \(\varphi\) zwischen den beiden Geraden g und h ist gegeben durch:

\(\varphi = \arccos (|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}|)\),  wobei \(\vec{g_0}\) und \(\vec{h_0}\) die jeweiligen Richtungsvektoren mit Länge 1 sind.

\(\vec{g_0} = \frac{ \vec{g} }{ \mid \vec{g} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ (-1)^2 +(-2)^2+5^2} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) =\)\(\frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \)

\(\vec{h_0} = \frac{ \vec{h} }{ \mid \vec{h} \mid } = \frac{1}{ \sqrt{ 1^2 + (-2)^2+(-5)^2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right)\)

\(\vec{g_0}\cdot \vec{h_0} = \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) \cdot\)\( \frac{1}{ \sqrt{ 30} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) \)\(= \frac{1}{ 30 } \Big( (-1)\cdot 1 - 2 \cdot (-2) + 5 \cdot (-5) \Big) = \frac{-22}{ 30 } =- \frac{11}{ 15 }\)

\(\varphi = \arccos (|\vec{g_0}\cdot \vec{h_0}|) = \arccos \Big( \frac{11}{15} \Big) \approx 42,83^\circ\)

Für die Lagebeziehung der beiden Geraden gibt es drei Möglichkeiten:

1. schneidend
2. parallel
3. identisch

Durch Vergleich der beiden Richtungsvektoren kann sofort festgestellt werden, ob sich die beiden Geraden schneiden. Dafür kann aus der Koordinatenform der Normalvektor abgelesen werden. Diesen kann man dann zu einem Richtungsvektor umwandeln:

\(g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {-4} \end{array}\right)\)  \(\rightarrow \vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Nun können die beiden Richtungsvektoren verglichen werden:

\(\vec{g_1} = \left(\begin{array}{c} {8} \\ {6} \end{array}\right)\) und \(\vec{g_2} = \left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\)

Es kann sofort erkannt werden, dass gilt: \(\vec{g_1} = 2 \cdot \vec{g_2}\)

Die Geraden sind somit entweder parallel oder identisch.

Um zwischen diesen Fällen zu unterscheiden, muss überprüft werden, ob ein Punkt der auf einer der beiden Geraden liegt auch auf der anderen Geraden liegt. Also z.B.:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \in g_2 ?\)

\(\rightarrow \; 3\cdot (-1) - 4\cdot 1 = -3 - 4 = - 7 \neq 16\)

Daraus folgt:

\(\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \end{array}\right) \notin g_2 \)  

Die Geraden sind parallel.

Der Winkel \(\varphi\) zwischen einer Ebene und einer Geraden kann mit Hilfe der Vektor-Winkel-Formel berechnet werden:

\(\cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \vec{g_0} \cdot \vec{n_0}\)  , wobei \(\vec{g_0}\) der Richtungsvektor der Geraden mit Länge 1 und \(\vec{n_0}\) der Normalvektor der Ebene mit Länge 1 ist.

Das heißt:

\(\cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac { \vec{g} \cdot \vec{n} }{ \mid \vec{g} \mid \cdot \mid \vec{n} \mid }\)

Der Normalvektor kann direkt aus der Ebenengleichung abgelesen werden:

\(\epsilon: \; 3x +12y-4z = -4\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {-4} \end{array}\right)\)

\(\mid \vec{n} \mid = \sqrt{3^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{169} = 13\)

Der Richtungsvektor der Geraden lautet:

\(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right)\)

\(\mid \vec{g} \mid = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7\)

Außerdem wird das Skalarprodukt von \(\vec{g}\) mit \(\vec{n} \) benötigt:

\(\vec{g} \cdot \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {3} \\ {12} \\ {-4} \end{array}\right) = 18 + 24 -12 = 30\)

\(\rightarrow \cos \angle(\vec{n};\vec{g}) = \frac{30}{13 \cdot 7} = \frac{30}{91}\)

\(\cos^{-1} \Big( \frac{30}{91} \Big) \approx 70,751^\circ\)

Somit erhalten wir \(\varphi \) durch

\(\varphi=90-70,75\approx19,25^\circ\)

Die allgemeine Normalvektorform lautet:

\(g: \; \vec{n} \cdot(X - P)=0 \)  bzw. \(g: \; \)\(\vec{n} \cdot X = \vec{n} \cdot P\)

Da die neue Gerade normal auf die gegeben stehen soll, ist der Richtungsvektor \(\vec{g} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\) direkt der Normalvektor der neuen Geraden:

\(\vec{n} = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Nun müssen nur noch der neue Punkt P und der Normalvektor in die allgemeine Normalvektorform eingesetzt werden:

\(g\; : \; \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \end{array}\right) \cdot \Big( X - \left(\begin{array}{c} {0} \\ {-3} \end{array}\right) \Big) = 0\)

Aus der Koordinatenform können Sie direkt den Normalvektor ablesen:

\(2x - y = -3\)

\(\rightarrow n_1=2 \; , \; n_2=-1\)

\(\rightarrow \vec{n}= \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right)\)

Den Richtungsvektor \(\vec{g}\) der Geraden erhalten Sie durch Vertauschen der Komponenten des Normalvektors und durch Ändern des Vorzeichens einer Komponente. Also z.B.

\(\vec{g}= \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)\)

Um einen Punkt auf der Geraden zu erhalten, muss folgende Gleichung gelöst werden:

\(\vec{n} \cdot P = -3\)

\( \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-1} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} {p_1} \\ {p_2} \end{array}\right) = -3\)  

  \(\rightarrow 2p_1 - p_2 = -3\)

Wählen Sie z.B.  \(p_1 = 0\), dann erhalten Sie sofort:

\(-p_2 = -3 \rightarrow p_2 = 3\)

Die allgemeine Parameterform einer Geraden lautet:

\(g : \; X= P + t \cdot \vec{g} \)

Somit haben Sie nun alles, was Sie brauchen:

\(g : \; X= \left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right) \), \(t \in \mathbb{R}\).

Der Abstand lässt sich über die Hesse'sche Abstandsformel berechnen:

\(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid\)  , wobei \(A \in \epsilon\) und \(\vec{n_0} \perp \epsilon\) mit Länge 1, sowie \(P \in g\).

 Der Punkt A und der Normalvektor können aus der Ebenengleichung abgelesen werden:

\(\epsilon: \; \; 6(x-1)-2(y-2)-3(z-5)= 0\)

\(\rightarrow \vec{n} = \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\), \(A = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right)\)

Nun kann direkt \(\vec{n_0} \) berechnet werden:

\(\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{ \mid \vec{n} \mid } = \frac{1}{\sqrt{6^2+(-2)^2+(-3)^2}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\)\(= \frac{1}{\sqrt{49}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right)\)

Der Punkt P kann aus der Parameterdarstellung der Geraden abgelesen werden:

\(P = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right)\)

Somit erhält man:

\(\vec{AP} = P - A = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {5} \end{array}\right)\)\(= \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right)\)

\(d(g, \; \epsilon) = \mid \vec{AP} \cdot \vec{n_0} \mid = \mid \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) \cdot \)\(\frac{1}{\sqrt{49}} \left(\begin{array}{c} {6} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right) \mid =\)\(\mid \frac{1}{7} \big( -12 -2\big) \mid =\mid \frac{-14}{7} \mid = 2\)

Weil die beiden Geraden parallel sein sollen, muss der Richtungsvektor parallel sein. Somit muss nur noch der neue Punkt in die allgemeine Parameterform eingesetzt werden:

\(g: \; \; X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {2} \end{array}\right) +t \cdot\left(\begin{array}{c} {2} \\ {9} \end{array}\right)\) , mit \(t \in \mathbb{R}\).