Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Laplace-Transformationen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{s^2+4}$ . Nr. 4999
	$f(t)=\frac{e^{2t}}{2}$
	$f(t)=\frac{\cos(2t)}{2}$
	$f(t)=\frac{\sin(2t)}{2}$
	$f(t)=2 \sin(t)$
	$f(t)=2 \cos(t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+a^2}\Big](t)=\frac{\sin(at)}{a}$ ([B.24]), daher (mit $a=2$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+4}\Big](t)=\frac{\sin(2t)}{2}$ .

5 erreichbare Punkte

Die Funktion $f$ sei gegeben, die Werte $f(0)=-2$ und $f'(0)=0$ sowie die Laplacetransformierte $F=\mathcal{L}(f)$ seien bekannt. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte von $f''(t)-t\cdot f(t)$ . Nr. 4892
	$sF(s)+2+F'(s)$
	$s^2F(s)+2-F'(s)$
	$s^2F(s)+2s+F'(s)$
	$sF(s)-2F'(s)$
Lösungsweg Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=-2$ und $f'(0)=0$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)+2s$ . Für $t \cdot f(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s)=-F'(s)$ ([A.3]). Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten): $\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]=s^2F(s)+2s-(-F'(s))=s^2F(s)+2s+F'(s)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= \theta(t-3)\sqrt{t-3}$ , wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4884
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{-3(s-3)}}{2(s-3)^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{-3s}}{2s^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{3s}}{s^{3/2}}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte der Funktion $\sqrt{t}$ ist durch $\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$ gegeben ([A.19]). Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\theta(t-a)f(t-a)$ ist durch $e^{-as}F(s)$ gegeben ([A.5]). Daher ist die Laplacetransformierte von $f(t)= \theta(t-3)\sqrt{t-3}$ durch $e^{-3s}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}e^{-3s}}{2s^{3/2}}$ gegeben.

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= \theta(t-3)e^{7t}$ , wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4879
	$\frac{e^{-3(s-7)}}{s-7}$
	$\frac{e^{3(s+7)}}{s+7}$
	$\frac{e^{-7(s-3)}}{s-3}$
	$\frac{1}{s-3}\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{1}{s^2-9}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\theta(t-a) e^{-bt}$ ist durch $\frac{e^{-a(s+b)}}{s+b}$ gegeben ([A.43]). Daher ist die Laplacetransformierte von $\theta(t-3)e^{7t}$ durch $\frac{e^{-3(s-7)}}{s-7}$ ( $a=3$ und $b=-7$ ) gegeben.

4 erreichbare Punkte

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): $f'+\frac{1}{2}f=0$ Anfangsbedingung: f(0)=5 Nr. 3932
	$f(t) = 10 \cdot e^{-\frac{1}{4}t}$
	$f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{25}t}$
	$f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{5}{2}t}$
	$f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{2}t}$
Lösungsweg $f'+\frac{1}{2}f=0$ $f'(t)+\frac{1}{2}f(t)=0$ Laplace transformieren: $s \cdot F(s) - f(0) + \frac{1}{2} F(s) = 0$ $s \cdot F(s) + \frac{1}{2} F(s) =f(0)$ $F(s) \cdot (s + \frac{1}{2}) = f(0)$ $F(s) = \frac{f(0)}{(s + \frac{1}{2})}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{5}{(s + \frac{1}{2})}$ Rücktransformieren $f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{2}t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{(s-3)^4}$ . Nr. 5002
	$f(t)=\frac{t^3}{6}\cdot e^{3t}$
	$f(t)=\frac{t^3}{6}$
	$f(t)=\frac{e^{3t}}{6}$
	$f(t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{3t}$
	$f(t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-3t}$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{-at}$ ([B.66]), daher (mit $a=-3$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-3)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{3t}$ .

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{s^3(s-1)}$ . Nr. 5003
	$f(t)=-\frac{1}{2}(t^2+2t+2-2e^{t})$
	$f(t)=-\frac{1}{2}(t^2-2e^{-t})$
	$f(t)=e^t-t-1$
	$f(t)=1-e^t(1-t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s+a)}\Big](t)=\frac{1}{2a^3}(a^2t^2-2at+2-2e^{-at})$ ([B.72]), daher (mit $a=-1$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s-1)}\Big](t)=-\frac{1}{2}(t^2+2t+2-2e^{t})$ .

4 erreichbare Punkte

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): 7f'+2f=0 Anfangsbedingung: f(0)=7 Nr. 3930
	$f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{2}{7}t}$
	$f(t) = 9$
	$f(t) = 49 \cdot e^{-7t}$
	$f(t) = 49 \cdot e^{-\frac{5}{7}t}$
Lösungsweg $7f'+2f=0$ $7f'(t)+2f(t)=0$ Laplace transformieren: $7s \cdot F(s) -7 f(0) + 2 F(s) = 0$ $7s \cdot F(s) + 2 F(s) =7 f(0)$ $F(s) \cdot (7s + 2) = 7f(0)$ $F(s) = \frac{7f(0)}{(7s + 2)}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{7 \cdot 7}{(7s + 2)}$ 7 herausheben: $F(s) = \frac{7 \cdot 7}{7(s +\frac{ 2}{7})}$ Rücktransformieren $f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{2}{7}t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

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