Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Fourier-Transformationen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3957
	$2 \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| 4 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{\frac{1}{2}} \|}$ Streckung: $c=\frac{1}{2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star f$ (der Faltung von $f$ mit sich selbst) für $f$ mit $f(t)=e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4870
	$2 \pi e^{-\omega^2/2}$
	$\pi e^{-\omega^2/2}$
	$\pi e^{-\omega^2/4}$
	$\frac{1}{2}e^{-\omega^2/2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort (mit $f=g$ ) via $F(\omega) \cdot F(\omega)= \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} = \Big( \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \Big)^2$ . Weiter mit den Rechenregeln für Potenzen $\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=\pi e^{(-\omega^2/4) \cdot 2} = \pi e^{-\omega^2/2}$ .

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3956
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 $\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(\omega)=\frac{10}{1+(\omega-4)^2}$ . Hinweis: Nr. 5009
	$f(t)=5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{-4j\|t\|}$
	$f(t)=5 \cdot e^{-\|t\|}$
	$f(t)=4 \cdot e^{-5jt}e^{-\|t\|}$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $F(\omega-a)$ ist durch $e^{jat}f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ (mit $a=4$ ) durch $e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben. Auch gilt: Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $b\cdot F(\omega)$ ist durch $b \cdot f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{10}{1+(\omega-4)^2}=5 \cdot \frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ durch $5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben.

5 erreichbare Punkte

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ihre Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ . Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an. Achten Sie dabei auf den korrekten Vorfaktor ( $\frac{1}{2\pi}$ oder nicht vorhanden/ $1$ ), das Vorzeichen des Exponenten der Euler'schen Zahl $e$ sowie die korrekte Integrationsvariable ( $t$ bzw. $\omega$ ). Nr. 4873
	$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} dt$
Lösungsweg Die Fourierdarstellung einer Funktion $f$ ist $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$ (Vorfaktor $\frac{1}{2\pi}$ , positiver Exponent, Integrationsvariable $\omega$ ) Das (Frequenz-)Spektrum bzw. die Fouriertransformierte $F$ von $f$ ist $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$ (kein Vorfaktor/Vorfaktor $1$ , negativer Exponent, Integrationsvariable $t$ ) Dies sind die beiden korrekten Antwortmöglichkeiten.

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Fouriertransformierte der folgenden Funktion: $x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {1:} & {\mid x \mid \leq a} \\ {0:} & {\mid x \mid > a} \end{array}\right.$ Nr. 4231
	$=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k}$
	$=\sqrt{2\pi} \cos (ak)}$
	$= \sqrt{\frac{1}{4\pi}} ki \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$
Lösungsweg $\mathcal{F} (f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bigint_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx = \\$ $= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( \bigint_{-\infty}^{-a} 0 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{a}^{\infty} 0 \cdot e^{-ikx} \Big) = \\$ $= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{-ik} e^{-ikx} \; \mid _{-a}^{a} = \\$ $= \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$ Nun muss etwas getrickst werden (der obige Ausdruck wird mit 2 unter der Wurzel erweitert): $= \sqrt{\frac{2}{2\cdot 2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{4\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$ Nun kann die Wurzel aus 4 gezogen werden und man erhält: $= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{2ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2i} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\$ $=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \sin (ak) = \\ =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k}$

3 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte der Funktion $f'$ (1. Ableitung von $f$ ), wobei $f$ gegeben ist durch $f(t)=e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4864
	$-\frac{1}{2}j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte der 1. Ableitung einer Funktion $f$ ist durch $j\omega F(\omega)$ gegeben . Daher ist die richtige Antwort $j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ .

4 erreichbare Punkte

Die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ einer Funktion $F$ sei bekannt. Bestimmen Sie die inverse Fouriertransformierte von $(-\omega^2+3)F(\omega)$ . Nr. 5010
	$f''(t)+3\cdot f(t)$
	$3\cdot f''(t)+ f(t)$
	$3\cdot f''(t)$
	$f'(t)+f(t)$
	$f'(t)+3\cdot f(t)$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte von $(-\omega^2+3)F(\omega)$ ist ident mit der inversen Transformation von $-\omega^2\cdot F(\omega)$ addiert mit der inversen Transformation von $3 \cdot F(\omega)$ . Für $-\omega^2\cdot F(\omega)$ : Zweimaliges verwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: Die inverse Fouriertransformierte von $j^2\omega^2F(\omega)=-\omega^2F(\omega)$ (da $j^2=-1$ ) ist durch $f''(t)$ gegeben. Für $3 \cdot F(\omega)$ : Die inverse Fouriertransformierte von $3 \cdot F(\omega)$ ist durch $3 \cdot f(t)$ gegeben. Daher gesamt: $f''(t)+3\cdot f(t)$ .

5 erreichbare Punkte

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Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3957
	$2 \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| 4 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{\frac{1}{2}} \|}$ Streckung: $c=\frac{1}{2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3956
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 $\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(\omega)=\frac{10}{1+(\omega-4)^2}$ . Hinweis: Nr. 5009
	$f(t)=5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{-4j\|t\|}$
	$f(t)=5 \cdot e^{-\|t\|}$
	$f(t)=4 \cdot e^{-5jt}e^{-\|t\|}$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $F(\omega-a)$ ist durch $e^{jat}f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ (mit $a=4$ ) durch $e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben. Auch gilt: Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $b\cdot F(\omega)$ ist durch $b \cdot f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{10}{1+(\omega-4)^2}=5 \cdot \frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ durch $5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben.

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