Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Fourier-Transformationen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ermitteln Sie die Fouriertransformierte zur gegebenen Funktion: $f(t)=e^{-3\|t\|}$ Nr. 3884
	0
	$\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}$
	$\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{7e^{4i} }{-3-i \omega}$
	$\frac{3 }{5-i \omega}- \frac{e^{2i} }{-8-i \omega}$
Lösungsweg $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(\omega)= \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-i \omega t} dt$ $f(t)=e^{-3\|t\|} \circ - \bullet \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3\|t\|} \cdot e^{-i \omega t} dt=$ $=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3\|t\| -i \omega t} dt=$ Betrag aufteilen: $=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{0}} e^{3t -i \omega t} dt+ \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-3t -i \omega t} dt=$ Integrieren: $\frac{e^{3t -i \omega t} }{3-i \omega} \|\limits_{\tiny -\infty}^{\tiny{0}} + \frac{e^{-3t -i \omega t} }{-3-i \omega} \|\limits_{\tiny 0} ^{\tiny\infty}=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $\frac{e^0 }{3-i \omega}- \frac{e^{-\infty} }{3-i \omega}+ \frac{e^{-\infty} }{-3-i \omega}- \frac{e^0 }{-3-i \omega}=$ $\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{0 }{3-i \omega}+ \frac{0 }{-3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}=$ $\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}$

4 erreichbare Punkte

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ihre Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ . Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an. Achten Sie dabei auf den korrekten Vorfaktor ( $\frac{1}{2\pi}$ oder nicht vorhanden/ $1$ ), das Vorzeichen des Exponenten der Euler'schen Zahl $e$ sowie die korrekte Integrationsvariable ( $t$ bzw. $\omega$ ). Nr. 4873
	$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} dt$
Lösungsweg Die Fourierdarstellung einer Funktion $f$ ist $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$ (Vorfaktor $\frac{1}{2\pi}$ , positiver Exponent, Integrationsvariable $\omega$ ) Das (Frequenz-)Spektrum bzw. die Fouriertransformierte $F$ von $f$ ist $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$ (kein Vorfaktor/Vorfaktor $1$ , negativer Exponent, Integrationsvariable $t$ ) Dies sind die beiden korrekten Antwortmöglichkeiten.

5 erreichbare Punkte

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ einer Funktion $f$ sei bekannt. Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f'(t)+2 \cdot f(2t)$ . Nr. 5014
	$F'(\omega) + 2 \cdot F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + 2\cdot F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + \frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + F(\frac{\omega}{2})$
Lösungsweg Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also $\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)$ .. Für $f'(t)$ : Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)$ . Für $f(2t)$ : Anwenden von $\mathcal{F}\Big(f(at)\Big)(\omega)=\frac{1}{\|a\|} F(\frac{\omega}{a})$ liefert (mit $a=2$ ) $\mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)(\omega)=\frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$ . Daher gesamt: $\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+2 \cdot \mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)= j\omega F(\omega) + 2\cdot \frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$ und ausmultiplizieren liefert $j\omega F(\omega) + F(\frac{\omega}{2})$ .

4 erreichbare Punkte

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(t)=2e^{-t^2}$ und $g(t)=e^{-(t+3)^2}$ . Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star g$ (der Faltung von $f$ mit $g$ ). Hinweis: Nr. 4872
	$2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+\sqrt{\pi}e^{-(\omega+3)^2/4}$
	$2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$e^{2j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi}e^{(-\omega+3)^2/4}$
	$(2+e^{3j\omega}) \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2 = 2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $a \cdot f(t)$ ist durch $a \cdot F(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit $a=2$ ): $F(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}\cdot F(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit $a=-3$ ): $G(\omega)=e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Weiters gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe: $\mathcal{F}[(f \star g)(t)](\omega)=F(\omega)\cdot G(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}= 2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2$ und $2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2$ die richtige Antwort. Anmerkung: Die Lösung kann noch weiter umgeformt ("vereinfacht") werden: $2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2=2e^{3j\omega}\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=2e^{3j\omega}\pi e^{-2 \cdot \omega^2/4}=2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$ . Demnach kann die Lösung auch in der folgenden Form angegeben werden: $2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$ .

5 erreichbare Punkte

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & \quad t \geq 0 \\ 0 & \quad \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ für $b > 0$ (einseitig abfallender Impuls) ist durch $F(\omega)=\frac{1}{b+jw}$ gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des um 3 Zeiteinheiten später stattfindenden Impulses $f(t-3)$ . Abbildung von $f(t)$ (blau) und $f(t-3)$ (rot) für $b=1$ : Nr. 4867
	$\frac{e^{3j\omega}}{b+j\omega}$
	$\frac{e^{-3j\omega}}{b+j\omega}$
	$\frac{1}{b+j(\omega+3)}$
	$\frac{1}{b+j(\omega-3)}$
	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{b+j\frac{\omega}{3}}=\frac{1}{3b+j\omega}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}F(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort $e^{-3j\omega}\frac{1}{b+jw}=\frac{e^{-3j\omega}}{b+jw}$ .

5 erreichbare Punkte

Die Fouriertransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & t \geq 0 \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ für $b > 0$ (einseitig abfallender Impuls) ist durch $F(\omega)=\frac{1}{b+j\omega}$ gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des von doppelter Höhe abfallenden Impulses $2\cdot f(x)$ . Abbildung von $f$ (blau) und $2 \cdot f$ (rot) für $b=1$ : Nr. 4868
	$\frac{1}{2b+j\omega}$
	$\frac{2}{b+j\omega}$
	$\frac{1}{b+2j\omega}$
	$\frac{1}{b+j\frac{\omega}{2]}$
	$\frac{e^{-2j\omega}}{b+j\omega}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $a \cdot f(t)$ ist durch $a \cdot F(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort $2 \cdot \frac{1}{b+j\omega}=\frac{2}{b+j\omega}$ .

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star f$ (der Faltung von $f$ mit sich selbst) für $f$ mit $f(t)=\chi_{[-1,1]}(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ wenn } -1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \quad \text{ sonst} \\ \end{array} \right.$ Hinweis: Nr. 4874
	$4 \frac{\sin(\omega^2)}{\omega^2}$
	$4 j \omega \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4 j \omega \text{si}^2(\omega)$
	$2 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=2\text{si}^2(\omega)$
	$4 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4\text{si}^2(\omega)$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort (mit $f=g$ ): $F(\omega) \cdot F(\omega)= 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} \cdot 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} = 4 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4\text{si}^2(\omega)$ .

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=7 \cdot e^{-\|8t\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3944
	$\frac{7}{4(1+(\frac{\omega}{8})^2)}$
	$\frac{4}{7(1+(\frac{\omega}{4})^2)}$
	$\frac{3}{5(2+(\frac{\omega}{4})^2)}$
	$\frac{3}{2+(\frac{x}{4})^2}$
Lösungsweg $f(t)=7 \cdot e^{-\|8t\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}$ $e^{-\|8t\|} \circ - \bullet \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}$ Streckung: c=8 $7 \cdot e^{-\|8t\|} \circ - \bullet 7 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}= \frac{7}{4(1+(\frac{\omega}{8})^2)}$ Linearität: $\alpha = 7$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$

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