Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Fourierreihen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3839
	$\frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$
	$\frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $[\frac{6sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}- \frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot sin(k \omega t)$
	$\frac{1}{4 \pi} +$ $[\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}- \frac{4cos(\frac{3 k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot sin(k \omega t)$
	$\frac{1}{4} +$ $[\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k\omega\pi}- \frac{2sin(3 k \omega \pi)}{k \omega \pi}+ \frac{sin(\frac{5 k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot cos(k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $b_k = 0$ . $T=2 \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $c_0 = \frac{1}{4}$ $a_k=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$ Berechnung von $c_0$ : $c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(-3t\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}$ Berechnung von $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =$ Integrieren: $=\frac{2}{\pi}(-3(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi}[0-3(sin(\frac{k \omega \pi}{4}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ 2(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})- 2(sin(\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})]=$ $=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]$

4 erreichbare Punkte

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_2 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=\frac{\pi}{4}$ ; $a_k=\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}$ ; $b_k=0$ Nr. 3904
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} + (\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}) \cdot cos (k \omega t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{3}{4\pi} \cdot cos(2t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{2}{5\pi} \cdot cos(2t) + \frac{1}{2} \cdot cos(2t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{1}{2\pi} \cdot cos(2t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}) \cdot cos (k \omega t) + 0$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\pi}{2})}{\pi(k)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\pi}{2})}{k}) \cdot cos (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} + [-1 \cdot cos(1t)+(-\frac{1}{2\pi})\cdot cos(2t)]=$ $S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{1}{2\pi} \cdot cos(2t)$ $k=1: \\a_1=\frac{2cos(\frac{ 1 \cdot \pi}{2})}{\pi(1)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 1 \cdot \pi}{2})}{1} = 0-1=-1$ $k=2: \\a_2=\frac{2cos(\frac{ 2 \cdot \pi}{2})}{\pi(2)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{2})}{2} = -\frac{1}{2\pi}$

4 erreichbare Punkte

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_2 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=0$ ; $a_k=0$ ; $b_k=\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}$ Nr. 3908
	$S _2 f(t)= (\frac{4 \sqrt2}{\pi}) \cdot sin(t)- \frac{4}{\pi}\cdot sin(2t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{2}{3\pi}) \cdot sin(1t)+ \frac{5}{\pi}\cdot sin(2t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{2}{5\pi}) \cdot sin(1t)+ \frac{1}{\pi}\cdot sin(2t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k \pi}{2})}{k \pi} +\frac{8cos(\frac{k \pi}{4})}{k \pi}) \cdot sin (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _2 f(t)= (\frac{4 \sqrt2}{\pi}) \cdot sin(1t)- \frac{4}{\pi}\cdot sin(2t)$ $k=1: \\a_1=\frac{8cos(\frac{1 \pi}{2})}{1 \pi} +\frac{8cos(\frac{1 \pi}{4})}{1 \pi}= 0 + \frac{8 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\pi}= \frac{4 \cdot \sqrt 2}{\pi}$ $k=2: \\a_2=\frac{8cos(\frac{2 \pi}{2})}{2 \pi} +\frac{8cos(\frac{2 \pi}{4})}{2 \pi}= -\frac{4}{\pi} + 0= -\frac{4 }{\pi}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3829
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{1}{\pi}$
	$3\pi$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $a_k=0$ .

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = 0$ $a_k=0$ $b_k= \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$ Nr. 3846
	$\frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$
	$( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$
	0
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$

4 erreichbare Punkte

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3816
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungeraden Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

2 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie die Kreisfrequenz für eine periodische Funktion mit der Periode $T=2\pi$ . Nr. 3821
	6,28
	3,14
	1
	2
Lösungsweg Formel für die Kreisfrequenz: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3838
	$\frac{1}{2} -\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$
	$\frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$
	$\frac{1}{2 \pi} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} [-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{2sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)$
	$\frac{1}{4 \pi} -\frac{2sin(\frac{k \omega 5 \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{cos(\frac{k \omega 3\pi}{2})}{k \omega \pi}$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $b_k = 0$ . $T=2 \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $c_0 = \frac{1}{2}$ $a_k=\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$ Berechnung von $c_0$ : $c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}$ Berechnung von $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} 0 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 \cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 dt \cdot cos(k \omega t) =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(0+(sin(k \omega t)\cdot \frac{1}{k \omega}) \|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}+0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}[sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k\omega}-(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} )]=$ $\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$

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