Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4\)

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(a_k=0\).

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(b_k = 0\).

\(T=2 \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(c_0 = \frac{1}{4}\)

\(a_k=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)\)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)\)

Berechnung von \(c_0\):

\(c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(-3t|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}\)

Berechnung von \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt \)\(+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{2}{\pi}(-3(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi}[0-3(sin(\frac{k \omega \pi}{4}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ 2(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})- 2(sin(\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})]=\)

 \(=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

Die Funktion ist gerade, daraus folgt \(c_0=0\) und \(a_k = 0\).

\(T= \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(b_k=\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega \pi)^2}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos(k \omega t)\)\(+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)\)

\(S _\infty f(t)=\) \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)\)

Berechnung von \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt\)\(+ \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}\)\(+\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-\)\(cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})\)

 \(=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\)\(\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}\)\(-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=\)

\(\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]\)\(=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}\)

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)\) -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt\)

nun das verbliebene Integral lösen:

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(c_0=0\).

Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2\)

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y">y-Achse.

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(c_0=0\).