Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Fourierreihen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3816
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungeraden Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

2 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie die Kreisfrequenz für eine periodische Funktion mit der Periode $T=\frac{\pi}{2}$ . Nr. 3823
	1
	2
	1,5
	4
Lösungsweg Formel für die Kreisfrequenz: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3837
	$\frac{6sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{k\omega\pi}- \frac{4sin(k \omega \pi)}{k \omega \pi}+ \frac{4sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}$
	$\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega \pi)^2}$
	0
	$\frac{- sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega^2} + \frac{ 4 \cdot sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega)^2 \cdot \pi}$
Lösungsweg $T=\pi$ Formel für $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =$ Integrieren (siehe unten): $=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}$ $+\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}\| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-$ $cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +$ $\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}$ $-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=$ $\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]$ $=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}$ Für das Integrieren von $\int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt$ Formel für partielle Integration anwenden: $\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v'$ $-->$ $u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t)$ $v =t \\[15in] v'=1$ Einsetzen: $- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\frac{\tiny \pi}{4}}-$ $\int\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt$ nun das verbliebene Integral lösen: $\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{4}}$ zuerst zusammenfassen zu: $\frac{(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{ k^2\omega^2}\| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $c_0$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3832
	$\frac{1}{2}$
	$2\pi$
	$\frac{\pi}{2}$
	12
Lösungsweg $T=2\pi$ Formel für $C_0$ : $C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = 0$ $a_k=0$ $b_k= \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$ Nr. 3846
	$\frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$
	$( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$
	0
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3829
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{1}{\pi}$
	$3\pi$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $a_k=0$ .

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3831
	$\frac{3sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}-\frac{cos(2k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{\pi}{4}$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist gerade, d.h. sie kann an der Y-Achse gespiegelt werden. Für gerade Funktionen gilt $b_k=0$ .

4 erreichbare Punkte

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3815
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

2 erreichbare Punkte

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