\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi} -\frac{4sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}) \cdot cos (k \omega t) + 0\)

Omega einsetzen:

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\)

\(S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\pi}{4})}{k\pi} -\frac{4sin(k\pi)}{k\pi}) \cdot cos (k t) \)

Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 auswerten(siehe unten) und einsetzen:

 \(S _3 f(t)= \frac{1}{4} +\frac{3 \sqrt2}{\pi} \cdot cos(1t)+\frac{3}{\pi}\cdot cos(2t) +\frac{ \sqrt2}{\pi} \cdot cos(3t)\)

\(k=1: \\a_1=\frac{6sin(\frac{1\pi}{4})}{1\pi} -\frac{4sin(1\pi)}{1\pi}= \frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}-0=\frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}\)   

\(k=2: \\a_2=\frac{6sin(\frac{2\pi}{4})}{2\pi} -\frac{4sin(2\pi)}{2\pi}= \frac{3}{\pi}-0=\frac{3}{\pi}\)   

\(k=3: \\a_3=\frac{6sin(\frac{3\pi}{4})}{3\pi} -\frac{4sin(3\pi)}{3\pi}= \frac{\sqrt 2}{\pi}-0=\frac{ \sqrt 2}{\pi}\)

\(T=2\pi\)

Formel für \(C_0\):

\(C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(-3t|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)\)

\(T=\pi\)

Formel für \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt\) \(+ \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}\)\(+\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-\)\(cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} |\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\)\(\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}\)\(-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=\)

\(\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]\)\(=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}\)

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)\) -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\frac{\tiny \pi}{4}}-\)\(\int\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt\)

nun das verbliebene Integral lösen:

\(\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{4}}\)

zuerst zusammenfassen zu:

\(\frac{(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{ k^2\omega^2}| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)\)\( + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \)\(( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)\)

Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden.

Für ungerade Funktionen gilt \(c_0=0\).

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(T= \pi\)

Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für \(S_\infty f(t)\) einsetzen:

\(c_0= \frac{\pi}{8}\)

\(a_k=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } \)

\(b_k = -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } \)

\(S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)\)

\(S _\infty f(t)= \)   \(\frac{\pi}{8}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } ] \cdot cos(k \omega t)\)\(+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot sin (k \omega t)\)

Berechnung von \(c_0\):

\(c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot dt =\)

Integrieren:

\(=\frac{1}{\pi}(\frac{t^2}{2}|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}+0)=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{1}{\pi}(\frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}-0)= \frac{1}{\pi}(-\frac{\pi^2}{8})= \frac{\pi}{8}\)

Berechnung von \(a_k\):

\(a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt=\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot cos(k \omega t) dt =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} [sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=\)

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{sin (k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+\)\(\frac{cos(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -\frac 1 {(k \omega)^2})]=\)

\(=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } \)

_______________________________

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)\) -->          \(u = sin (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= cos (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt\)

Berechnung von \(b_k\):

\(b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt=\)

Abschnittweise in die Formel einsetzen:

\(= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot sin(k \omega t) dt =\)

Integrieren (siehe unten):

\(=\frac{2}{\pi} [- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}-\)\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=\)

\(=\frac{2}{\pi} [\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+\)\(\frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=\)

Integrationsgrenzen einsetzen:

\(=\frac{2}{\pi} [(-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -0)]=\)

\(=-\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } \)

_______________________________

Für das Integrieren von 

\(\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt \)

Formel für partielle Integration anwenden:

\(\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v' \)       \(-->\)\) -->          \(u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t) \)      v =t \\[15in] v'=1

Einsetzen: 

\(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt\)

Formel für die Kreisfrequenz:

 \(\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4\)