Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Potenzreihen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3711
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12x}{3n}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 12x+13n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12^x}{3}$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n$

4 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{4^k} \cdot (x-2)^k$ Nr. 3812
	4
	0
	$\frac{k}{16}$
	8
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{ k^2}{4^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {k^2}{4^k}} {\frac{(k+1)^2}{4^{k+1}}} \right\\|=$ $\left\\| \frac {k^2 \cdot 4^{k+1}}{ (k+1)^2 \cdot 4^k} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{(k+1)^2} \right\\|=$ $\left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2+2k+1} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})} \right\\|=$ Anwenden der Quotientenregel: $\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (4)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})}$ Anwenden der Summenregel: $\frac{4}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{2}{k})+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k^2})}= \frac{4}{1+0+0}=4$

4 erreichbare Punkte

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $\arctan x$ an? Nr. 3705
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{x}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
Lösungsweg $\arctan x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ darstellen.

4 erreichbare Punkte

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $e^x$ an? Nr. 3702
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot x^n$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen

4 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(x-3)^k}{4^k}$ Nr. 3811
	0
	4
	4x+3
	3k+4
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{1}{4^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {1}{4^k}} {\frac{1}{4^{k+1}}} \right\\|= \left\\| \frac {4^{k+1}}{4^k} \right\\|= \left\\| 4^{k+1-k} \right\\|=$ $=\lim\limits_{n \to \infty} (4)=4$

4 erreichbare Punkte

Welche Potenzreihe beschreibt $\sin(3)$ ? Nr. 3782
	$3-27+243-2187+...$
	$3-\frac{27}{3}+\frac{243}{5}-\frac{2187}{7}+...$
	$3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$
	$3-\frac{2}{3}+\frac{43}{5}-\frac{18}{7}+...$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen. Für $\sin(3)$ gilt daher: $3-\frac{3^3}{3!}+\frac{3^5}{5!}-\frac{3^7}{7!}+...$ $=3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a= $\pi$ . $f{(x)}=\sin(2x)$ Nr. 3805
	$2x-2\pi$
	0,909
	0
	$\frac{x^3}{2}$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f_{(a)}+f'_{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''_{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n_{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ daraus folgt: a= $\pi$ n=2 $T_{\pi,2}(x)=f_{(\pi)}+f'_{(\pi)}\frac{(x-\pi)}{1!}+f''_{(\pi)}\frac{(x-\pi)^2}{2!}=0+2(x-\pi)+0=2x-2\pi$ $f{(\pi)}:sin(2x)=sin(2\pi)=0 \\f'{(\pi)}:2cos(2x)=2cos(2\pi)=2 \\f''{(\pi)}:-4sin(2x)=-4sin(2\pi)=0$

4 erreichbare Punkte

Welche Potenzreihe beschreibt $e^7$ ? Nr. 3781
	$1+7+49+343+2401+...$
	$1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...$
	$1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{3}+\frac{2401}{4}+...$
	$1+7+14+28+49...$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen für $e^7$ ergibt sich daher: $\frac{7^0}{0!}+\frac{7^1}{1!}+\frac{7^2}{2!}+\frac{7^3}{3!}+\frac{7^4}{4!}+...$ $=1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...$

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