Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Potenzreihen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a= $\pi$ . $f{(x)}=\sin(2x)$ Nr. 3805
	$2x-2\pi$
	0,909
	0
	$\frac{x^3}{2}$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f_{(a)}+f'_{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''_{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n_{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ daraus folgt: a= $\pi$ n=2 $T_{\pi,2}(x)=f_{(\pi)}+f'_{(\pi)}\frac{(x-\pi)}{1!}+f''_{(\pi)}\frac{(x-\pi)^2}{2!}=0+2(x-\pi)+0=2x-2\pi$ $f{(\pi)}:sin(2x)=sin(2\pi)=0 \\f'{(\pi)}:2cos(2x)=2cos(2\pi)=2 \\f''{(\pi)}:-4sin(2x)=-4sin(2\pi)=0$

4 erreichbare Punkte

Wie lässt sich $e^x$ als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3697
	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
	$1+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...$
	$x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
	$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen

4 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(x-3)^k}{4^k}$ Nr. 3811
	0
	4
	4x+3
	3k+4
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{1}{4^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {1}{4^k}} {\frac{1}{4^{k+1}}} \right\\|= \left\\| \frac {4^{k+1}}{4^k} \right\\|= \left\\| 4^{k+1-k} \right\\|=$ $=\lim\limits_{n \to \infty} (4)=4$

4 erreichbare Punkte

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3709
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^2}{(n+1)!}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n$

4 erreichbare Punkte

Welche Potenzreihe beschreibt $\sin(3)$ ? Nr. 3782
	$3-27+243-2187+...$
	$3-\frac{27}{3}+\frac{243}{5}-\frac{2187}{7}+...$
	$3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$
	$3-\frac{2}{3}+\frac{43}{5}-\frac{18}{7}+...$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen. Für $\sin(3)$ gilt daher: $3-\frac{3^3}{3!}+\frac{3^5}{5!}-\frac{3^7}{7!}+...$ $=3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$

4 erreichbare Punkte

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $e^x$ an? Nr. 3702
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot x^n$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen

4 erreichbare Punkte

Welche Potenzreihe beschreibt $\cos(5)$ ? Nr. 3785
	$1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...$
	$1-\frac{25}{2}+\frac{625}{4}-\frac{15625}{6}+...$
	$1-25+625-15625+...$
	$1+2+16+720$
Lösungsweg $\cos x$ lässt sich auch durch $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ darstellen. Für $\cos(5)$ gilt daher: $1-\frac{5^2}{2!}+\frac{5^4}{4!}-\frac{5^6}{6!}+...$ $=1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...$

4 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{5k}{15^k} \cdot (x-2,5)^k$ Nr. 3813
	4k
	0
	25
	15
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{5k}{15^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {5k}{15^k}} {\frac{5(k+1)}{15^{k+1}}} \right\\|=$ $\left\\| \frac {5k \cdot 15^{k+1}}{ (5k+5) \cdot 15^k} \right\\|= \left\\| \frac {5k \cdot 15}{(5k+5)} \right\\|=$ $\left\\| \frac {15}{1+\frac{1}{k}} \right\\|$ Anwenden der Quotientenregel: $\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (15)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{k})}$ Anwenden der Summenregel: $\frac{15}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k})}= \frac{15}{1+0}=15$

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