Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Zahlenreihen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Ermitteln Sie den Grenzwert der gegebenen geometrischen Reihe: $\sum\limits_{k=0}^{\infty} 3\cdot (\frac{1}{4})^k$ Nr. 3654
	4
	$\frac{3}{4}$
	0
	1
	kein Grenzwert
Lösungsweg Falls $q<1$ kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden: $S=a \cdot \frac{1}{1-q}=3\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=3 \cdot \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{12}{3}=4$ Die Reihe konvergiert gegen 4.

5 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie den Grenzwert der gegebenen geometrischen Reihe: $\sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{7}{8})^k$ Nr. 3653
	1
	0
	kein Grenzwert
	8
	$\frac{1}{8}$
Lösungsweg Falls $q<1$ kann zur Berechnung des Grenzwertes folgende Formel benutzt werden: $S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{7}{8}}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8$ Die Folge konvergiert gegen 8.

5 erreichbare Punkte

Welche Summenformel beschreibt die gegebene Reihe: $4+8+16+ \qquad ...$ Nr. 3627
	$\sum\limits_{i=1}^{n} 2 \cdot 2^i$
	$\sum\limits_{i=1}^{n} 2 \cdot 2$
	$\sum\limits_{i=1}^{n} 4 \cdot i$
	$\sum\limits_{i=1}^{n} 2 \cdot i$
Lösungsweg Einsetzen in $2\cdot 2^i$ für i= 1: $2 \cdot 2^1=4$ für i= 2: $2 \cdot 2^2=8$ für i= 3: $2 \cdot 2^3=16$

4 erreichbare Punkte

Wie verhält sich die gegebene geometrische Reihe? $\sum\limits_{k=1}^{\infty} 4^k$ Nr. 3646
	konvergent
	divergent
Lösungsweg Eine geometrische Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a\cdot q^k$ verhält sich konvergent für $\|q\|<1$ und divergent für $\|q\|>1$ . Für die vorliegende Reihe gilt: $q=4$ $4>1$ , daraus folgt die Reihe ist divergent.

Wie verhält sich die gegebene geometrische Reihe?

$\sum\limits_{k=1}^{\infty} 4^k$

Nr. 3646

konvergent

divergent

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Bruchdarstellung der periodischen Dezimalszahl $0,\dot 1$ durch Verwendung einer geometrischen Reihe. Nr. 3629
	$\frac{10}{9}$
	$\frac{11}{10}$
	$\frac{1}{10}$
	$\frac{1}{9}$
Lösungsweg $0,\dot 1$ kann als geometrische Reihe dargestellt werden: $0,1\cdot (\frac{1}{10})^0+0,1\cdot (\frac{1}{10})^1+0,1\cdot (\frac{1}{10})^2+ ... = \sum\limits_{k=0}^{\infty} 0,1\cdot(\frac{1}{10})^k$ einsetzen in die Formel für den Grenzwert für unendliche geometrische Reihen: wenn 0<q<1, dann $\sum\limits_{k=0}^{\infty} a\cdot q^k = \frac{a}{1-q} = \frac{0,1}{1-\frac{1}{10}} = \frac{0,1}{\frac{9}{10}}= \frac{1}{9}$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die folgende Partialsumme: $2+6+ \qquad ... \qquad +98 +102$ Nr. 3615
	1300
	1252
	1465
	1352
Lösungsweg Summenformel für die arithmetische Reihe benützen: $s_n= \frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})$ n berechnen: $n= \frac{a_{n}-a_{1}}{d}+1= \frac{102-2}{4}+1=26$ in Formel einsetzen: $\frac{26}{2}\cdot(2+102)=1352$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Summe der durch diese Summenformel gegebenen Reihe: $\sum\limits_{i=1}^{10} \frac{3i}{2}$ Nr. 3624
	15
	82,5
	65
	93
Lösungsweg Aus der Summenformel ergibt sich folgende Reihe: $\frac{3}{2}+\frac{6}{2}+\frac{9}{2}+\frac{12}{2}+\frac{15}{2}+\frac{18}{2}+\frac{21}{2}+\frac{24}{2}+\frac{27}{2}+\frac{30}{2}$ $s_{n}=s_{10}=\frac{10}{2}(\frac{3}{2}+\frac{30}{2})=82,5$

4 erreichbare Punkte

Von einer arithmetischen Folge sind $a_{2}=28$ und $a_{5}=91$ gegeben, ermitteln Sie $s_{10}$ . Nr. 3619
	1015
	537
	821
	789
Lösungsweg Summenformel für die arithmetische Reihe benützen: $\frac{n}{2} \cdot(a_{1}+a_{n})$ d berechnen: $d=\frac{a_{n+3}-a_{n}}{3}=\frac{a_{5}-a_{2}}{3}=21$ $a_{1}$ und $a_{10}$ berechnen: $a_{1}= a_{2}-d=7$ $a_{10}= a_{1}+9d=196$ in Formel einsetzen: $\frac{10}{2}\cdot(9+189)=1015$

4 erreichbare Punkte

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