Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Folgen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

Test als PDF ausgeben (Kann je nach Länge einige Minuten dauern)

Eine geometrische Folge ist gegeben durch: $a_{3}=110,25 \qquad a_{5}=1350,5625$ Berechnen Sie den Quotient(q) zwischen zwei benachbarten Folgegliedern. Nr. 3550
	$q=3,5$
	$q=12,25$
	$q=1240,3125$
	$q=1460,8125$
Lösungsweg Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$ daraus folgt: $\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q^2 \\[10in] \sqrt{\frac{1350,5625}{110,25}}=3,5=q$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Folge mit Hilfe der Grenzwertsätze: $<a_{n}=\frac{n+1}{n-1}>$ Nr. 3599
	0
	1
	-1
	2
Lösungsweg $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{n-1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1-\frac{1}{n})}$ n kürzen: $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}$ Quotientenregel anwenden: $\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})}$ Summen-/Differenzregeln anwenden: $\frac{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}$ Nullfolge bzw. konstante Folge: $\frac{1+0}{1-0} =1$ 1 ist der Grenzwert dieser Folge.

4 erreichbare Punkte

Welche der Zahlen ist eine untere Schranke der folgenden Folge, für $n \in \mathbb{N}$ ? $<a_{n}=\frac{n^2+1}{n^2}>$ Nr. 3591
	0
	1
	-1
	3
Lösungsweg Überprüfung ob 1 eine untere Schranke ist: $1<\frac{n^2+1}{n^2}$ $n^2<n^2+1$ $n^2<n^2+1$ ist eine wahre Aussage für $n \in \mathbb{N}$ , daraus folgt das 1 eine untere Schranke für diese Folge ist Da $-1<1$ und $0<1$ , sind auch -1 und 0 untere Schranken. 3 ist keine untere Schranke da $3n^2<n^2+1\\ 2n^2<1$ gilt für kein $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

4 erreichbare Punkte

Eine geometrische Folge ist gegeben durch: $a_{3}=960 \qquad a_{6}=61440$ Berechnen Sie den Quotient(q) zwischen zwei benachbarten Folgegliedern. Nr. 3551
	$q=60480$
	$q=64$
	$q=3$
	$q=4$
Lösungsweg Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q$ daraus folgt: $\frac{a_{6}}{a_{3}}=\frac{a_{n+3}}{a_{n}}=q^3 \\[10in] \sqrt[3]{\frac{61440}{960}}=4=q$

4 erreichbare Punkte

Bilden sie die ersten drei Glieder der Folge laut folgendem Bildungsgesetz: $<a_{n}=\frac{(-1)^n}{n+1}>$ Nr. 3544
	$a_{1}=\frac{-1}{2}; \qquad a_{2}=\frac{-1}{3}; \qquad a_{3}=\frac{-1}{4}$
	$a_{1}=\frac{-1}{2}; \qquad a_{2}=\frac{2}{3}; \qquad a_{3}=\frac{-3}{4}$
	$a_{1}=-2; \qquad a_{2}=3; \qquad a_{3}=-4$
	$a_{1}=\frac{-1}{2}; \qquad a_{2}=\frac{1}{3}; \qquad a_{3}=\frac{-1}{4}$
Lösungsweg $<a_{n}=\frac{(-1)^n}{n+1}>$ ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher: $a_{1}=\frac{(-1)^1}{1+1}=\frac{-1}{2} \\[10in] a_{2}=\frac{(-1) ^2}{2+1}=\frac{1}{3} \\[10in] a_{3}=\frac{(-1)^3}{3+1}=\frac{-1}{4}$

4 erreichbare Punkte

Ermitteln Sie $a_{1}$ der gegebenen geometrischen Folge: $a_{3}=50 \qquad a_{5}=12,5$ Nr. 3568
	$a_{1}=200$
	$a_{1}=12,5$
	$a_{1}=625$
	$a_{1}=75$
	$a_{1}=62,5$
Lösungsweg Zuerst muss der Quotient(q) ermittelt werden: $q=\sqrt{\frac{a_{5}}{a_{3}}}=\sqrt{\frac{12,5}{50}}=0,5$ für geometrische Folgen gilt: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ daraus folgt: $a_{1}=\frac{a_{n}}{ q^{n-1}} \\[10in] a_{1}=\frac{a_{3}}{0,5^{3-1}}=200$

5 erreichbare Punkte

Was trifft auf die folgende Folge zu, für $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ : $<a_{n}=\frac{2n+1}{n^2}>$ Nr. 3586
	streng monoton steigend
	streng monoton fallend
	nicht monoton
Lösungsweg Überprüfung ob streng monton fallendes Wachstumsverhalten vorliegt: $a_{n}>a_{n+1}$ daraus folgt: $\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2}$ $\frac{2n+1}{n^2}>\frac{2n+3}{n^2+2n+1} \\[10in] (2n+1)(n^2+2n+1)>n^2(2n+3) \\[10in] 2n^3+5n^2+4n+1>2n^3+3n^2 \\[10in] 2n^2+4n+1>0$ $2n^2+4n+1>0$ wahre Aussage für $n \in \mathbb{N}$ , daraus folgt diese Folge ist streng monoton fallend

3 erreichbare Punkte

Was ist eine korrekte Bildungvorschrift zu folgender Folge: $a_{1}=2; \qquad a_{2}=8; \qquad a_{3}=18$ Nr. 3553
	$<a_{n}=n^3>$
	$<a_{n}=2n^2>$
	$<a_{n}=(n+2)^2>$
	$<a_{n}=1+n^2>$
Lösungsweg $<a_{n}=2n^2>$ ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher: $a_{1}=2\cdot 1^2=2 \\[10in] a_{2}=2\cdot 2^2=8 \\[10in] a_{3}=2\cdot 3^2=18$

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