\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{2}=\frac{2}{2 ^2}=\frac{2}{4} \\[10in] a_{3}=\frac{3}{3 ^2}=\frac{3}{9} \\[10in] a_{4}=\frac{4}{4 ^2}=\frac{4}{16}

\(44>14\geq 14>\qquad 4\)

Die Folgeglieder der Folge sind entweder kleiner oder gleich dem Vorgängerglied -> daraus folgt monoton fallendes Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}\leq a_{n}\)

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n-1}{n+1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2-\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{2-0}{1+0} =2\)

2 ist der Grenzwert dieser Folge.

Bei der geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident:

\(q = a_{n+1} / a_{n} \\4/10=0,4\) 

aus dieser Quotienten können die nachfolgenden Glieder ableitet werden:

\(a_{n+1}= a_{n}*q \\4*0,4=1,6 \\1,6*0,4=0,64 \\0,64*0,4=0,256\)

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(a_{n+1}-a_{n}=d\)

daraus folgt:

 \(a_{9}-a_{3}=a_{n+6}-a_{n}=6d \\\frac{-14,1-12,3}{6}=-4,4=d\)

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=2\cdot 1^2=2 \\[10in] a_{2}=2\cdot 2^2=8 \\[10in] a_{3}=2\cdot 3^2=18

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n+1}{n-1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{n(1-\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{1+0}{1-0} =1\)

1 ist der Grenzwert dieser Folge.

\(a_{n+1}=a_{n}\cdot q\), daraus folgt:

\\[10in]a_{1}=8 \\a_{2}=a_{1}\cdot q=8\cdot (-2)=-16 \\a_{3}=a_{2}\cdot q=-16\cdot (-2)=32