\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{2}=\frac{2}{2 ^2}=\frac{2}{4} \\[10in] a_{3}=\frac{3}{3 ^2}=\frac{3}{9} \\[10in] a_{4}=\frac{4}{4 ^2}=\frac{4}{16}

\(\) ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}= (1-1)^2+7=7 \\[10in] a_{2}= (2-1)^2+7=8 \\[10in] a_{3}= (3-1)^2+7=11

 Überprüfung ob 2 eine obere Schranke ist:

\(2>\frac{2n-1}{n+1}\)

2n+2>2n-1 \\[10in] 2>-1

2>-1 ist eine wahre Aussage für \(n \in \mathbb{N}\), daraus folgt das 2 eine obere Schranke für diese Folge ist

Da 3>2, ist auch 3 eine obere Schranke.

\(\)ist eine explizite Bildungsvorschrift, daher:

a_{1}=2\cdot 1^2=2 \\[10in] a_{2}=2\cdot 2^2=8 \\[10in] a_{3}=2\cdot 3^2=18

\(2<4<8<16< 32\)

Die Folgeglieder der Folge steigen stets -> daraus folgt streng monoton  steigend Wachstumsverhalten:

\(a_{n+1}>a_{n}\)

Zuerst muss der Quotient(q) ermittelt werden:

\(q=\sqrt{\frac{a_{5}}{a_{3}}}=\sqrt{\frac{12,5}{50}}=0,5\)

für geometrische Folgen gilt:

\(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\)

daraus folgt:

a_{1}=\frac{a_{n}}{ q^{n-1}} \\[10in] a_{1}=\frac{a_{3}}{0,5^{3-1}}=200

Der Quotient zwischen zwei benachbarten Folgegliedern ist immer gleich: \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q\)

daraus folgt:

 \frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=q^2 \\[10in] \sqrt{\frac{1350,5625}{110,25}}=3,5=q

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2n-1}{n+1} \\[10in] \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(2-\frac{1}{n})}{n(1+\frac{1}{n})}  

n kürzen:

\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2-\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \)

Quotientenregel anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2-\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})}\)

Summen-/Differenzregeln anwenden:

\(\frac{\lim_{n \to \infty}(2)-\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}{\lim_{n \to \infty}(1)+\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n})}\)

Nullfolge bzw. konstante Folge:

\(\frac{2-0}{1+0} =2\)

2 ist der Grenzwert dieser Folge.