Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Folgen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Ermitteln Sie den Grenzwert der folgenden Folge: $<a_{n}=\frac{1}{n^2}+7>$ Nr. 3595
	0
	1
	49
	7
Lösungsweg $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{\infty}+7= 0+7= 7$ 7 ist der Grenzwert für diese Folge.

4 erreichbare Punkte

Ermitteln sie $a_{1}$ der gegebenen arithmetischen Folge: $a_{3}=12 ; \qquad a_{5}=20$ Nr. 3561
	$a_{1}=8$
	$a_{1}=4$
	$a_{1}=3$
	$a_{1}=6$
Lösungsweg Zuerst muss die Differenz(d) ermittelt werden: $d=\frac{a_{5}-a_{3}}{2}=\frac{20-12}{2}=4$ für arithmetische Folgen gilt: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$ daraus folgt: $a_{1}=a_{n}-(n-1)\cdot d \\[10in] a_{1}=a_{3}-(3-1)\cdot 4=4$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des Grenzwertes ob die folgende Folge konvergent oder divergent ist: $<a_{n}=\frac{n^2}{n^2+1}>$ Nr. 3608
	konvergent
	divergent
Lösungsweg $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2+1}$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2}{n^2(1+\frac{1}{n^2})}$ $n^2$ kürzen $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})} = \frac{1}{1+0}=1$ Die Folge hat ihren Grenzwert bei 1 - sie konvergiert gegen 1, daraus folgt sie ist konvergent.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Grenzwertes ob die folgende Folge konvergent oder divergent ist:

$<a_{n}=\frac{n^2}{n^2+1}>$

Nr. 3608

konvergent

divergent

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Was trifft auf die folgende Folge zu, für $n \in \mathbb{N}$ : $<a_{n}=4n+3>$ Nr. 3583
	streng monoton steigend
	streng monoton fallend
Lösungsweg Überprüfung ob streng monton steigendes Wachstumsverhalten vorliegt: $a_{n}<a_{n+1}$ daraus folgt: $4n+3<4(n+1)+3$ $4n+3<4n+7 \\[10in] 3<7$ 3>7 wahre Aussage für $n \in \mathbb{N}$ , daraus folgt diese Folge ist streng monoton steigend

Was trifft auf die folgende Folge zu, für $n \in \mathbb{N}$ :

$<a_{n}=4n+3>$

Nr. 3583

streng monoton steigend

streng monoton fallend

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Welche der Zahlen ist eine obere Schranke der folgenden Folge für $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ $<a_{n}=\frac{1}{2n}>$ Nr. 3589
	-1
	0
	1
	2
Lösungsweg Obere Schranke: $x>\frac{1}{2n}$ gilt für $x>\frac{1}{2}$ für $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des Grenzwertes ob die folgende Folge konvergent oder divergent ist: $<a_{n}=2n^2+4>$ Nr. 3603
	konvergent
	divergent
Lösungsweg $\lim\limits_{n \to \infty}(2n^2+4)=\infty + 4= \infty$ Die Folge hat keinen Grenzwert, daraus folgt sie ist divergent.

Bestimmen Sie mit Hilfe des Grenzwertes ob die folgende Folge konvergent oder divergent ist:

$<a_{n}=2n^2+4>$

Nr. 3603

konvergent

divergent

Lösungsweg

2 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die ersten drei Folgeglieder der geometrischen Folge: $a_{1}=3, \ q=7,5$ Nr. 3558
	$a_{1}=3; \qquad a_{2}=10,5; \qquad a_{3}=18$
	$a_{1}=3; \qquad a_{2}=22,5; \qquad a_{3}=168,75$
	$a_{1}=3; \qquad a_{2}=7,5; \qquad a_{3}=22,5$
	$a_{1}=3; \qquad a_{2}=21,5; \qquad a_{3}=160,75$
Lösungsweg $a_{n+1}=a_{n}\cdot q$ , daraus folgt: $\\[10in]a_{1}=3 \\a_{2}=a_{1}\cdot q=3\cdot 7,5=22,5 \\a_{3}=a_{2}\cdot q=22,5\cdot 7,5=168,75$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die nächsten drei Glieder der folgenden geometrischen Folge: $10;\qquad 4;\qquad ...$ Nr. 3519
	$2;\qquad 1;\qquad 0,5$
	$-2;\qquad -8;\qquad -14$
	$1,6;\qquad 0,64;\qquad 0,256$
	$0;\qquad -4;\qquad -10$
Lösungsweg Bei der geometrischen Folge ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer ident: $q = a_{n+1} / a_{n} \\4/10=0,4$ aus dieser Quotienten können die nachfolgenden Glieder ableitet werden: $a_{n+1}= a_{n}q \\40,4=1,6 \\1,60,4=0,64 \\0,640,4=0,256$

4 erreichbare Punkte

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