Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Anfangswertproblem.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Lösen Sie das Anfangswertproblem $y''(x) + 3y'(x) + 4y(x) = 0\, ,\quad y(0) = 1\, ,\quad y'(1) = 0$ Nr. 3865
	$y(x) = e^{-\frac{3x}{2}} \frac{3\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 1)) + \sqrt{3}\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}(x - 1)) }{\sqrt{3} \cos (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3\sin (\frac{\sqrt{3}}{2})}$
	$y(x) = e^{-\frac{3x}{2}} \frac{3\sin(\frac{\sqrt{7}}{2}(x + 1)) + \sqrt{7}\cos(\frac{\sqrt{7}}{2}(x + 1)) }{\sqrt{7} \cos (\frac{\sqrt{7}}{2}) - 3\sin (\frac{\sqrt{7}}{2})}$
	$y(x) = e^{-\frac{3x}{2}} \frac{3+4x +\sqrt{7}x^2 }{\sqrt{7} \cos (\frac{\sqrt{7}}{2}) - 3\sin (\frac{\sqrt{7}}{2})}$
	$y(x) = 1$
	$y(x) = e^{-\frac{3x}{2}} \frac{3\sin(\frac{\sqrt{7}}{2}(x - 1)) + \sqrt{7}\cos(\frac{\sqrt{7}}{2}(x - 1)) }{\sqrt{7} \cos (\frac{\sqrt{7}}{2}) - 3\sin (\frac{\sqrt{7}}{2})}$
Lösungsweg Zuerst lösen Sie die Gleichung mittels des Exponentialansatzes $y(x) = e^{\lambda x}$ . $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(e^{\lambda x}) + 3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\lambda x})+4e^{\lambda x} = 0$ Damit erhalten wir mittels Koeffizientenvergleich folgendes charakteristisches Polynom: $\lambda^2 + 3 \lambda + 4 = 0$ Die Nullstellen des Polynoms liegen bei: $\lambda_1 = - \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2}$ $\lambda_2 = - \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2}$ Somit haben wir zwei Lösungen für die Gleichungen, jede Linearkombination der beiden ist ebenfalls eine Lösung. $y_1(x) = c_1e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$ $y_2(x) = c_2e^{ (- \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$ $y(x) = y_1(x) + y_2(x) = c_1e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x} + c_2e^{ (- \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$ Nun sind die Rechenregeln für Potenzen und die Eulersche Identität anzuwenden. $e^{a+ib}=e^a\cos{b}+ie^a\sin{b}$ Nach dem Umformen und regruppieren erhalten Sie: $y(x) = (c_1+c_2)e^{-\frac{3x}{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right) +i(c_1-c_2)e^{-\frac{3x}{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right)$ Die Konstanten können redefiniert werden und wir verwenden nun $a = c_1 +c_2$ und $b=i(c_1-c_2)$ . Nun können die Konstanten mit Hilfe durch das Einsetzen in die Anfangsbedingung bestimmt werden. Zuerst berechnen wir die Ableitung der Funktion. $\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(ae^{-\frac{3x}{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right) +be^{-\frac{3x}{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right)\right)$ $\quad = -\frac{3}{2}ae^{-\frac{3x}{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right) -\frac{\sqrt{7}}{2} ae^{-\frac{3x}{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right) +$ $\frac{\sqrt{7}}{2}be^{-\frac{3x}{2}}\cos\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right) -\frac{3}{2}b e^{-\frac{3x}{2}}\sin\left(\frac{\sqrt{7}x}{2}\right)$ Jetzt verwenden wir die Anfangsbedingungen: $y(0) = a = 1$ $y'(1) = -\frac{3\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}{2e^{3/2}}-\frac{\sqrt{7}\sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}{2e^{3/2}}+$ $\frac{\sqrt{7}\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cdot b}{2e^{3/2}}-\frac{3\sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)\cdot b}{2e^{3/2}}=0$ Nach dem Umformen erhält man: $a = 1$ $b=-\frac{-3\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)-\sqrt{7}\sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}{\sqrt{7}\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)-3\sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}$ Damit erhält man dann die Lösung: $y(x) = e^{-\frac{3x}{2}} \frac{3\sin(\frac{\sqrt{7}}{2}(x - 1)) + \sqrt{7}\cos(\frac{\sqrt{7}}{2}(x - 1)) }{\sqrt{7} \cos (\frac{\sqrt{7}}{2}) - 3\sin (\frac{\sqrt{7}}{2})}$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem, eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-5 y'(x)+4 y(x)=0,\\ y(0)=1,\quad y'(0)=2.$ Nr. 4958
	$y(x)=\frac{2 e^x}{3}+\frac{e^{4 x}}{3}$
	$y(x)=\frac{26 e^x}{3}-\frac{2 e^{4 x}}{3}$
	$y(x)=14 e^x-5 e^{4 x}$
	$y(x)=\frac{19 e^{4 x}}{3}-\frac{43 e^x}{3}$
	$y(x)=\frac{29 e^x}{3}-\frac{11 e^{4 x}}{3}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung! Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $y(x)=e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-5 \lambda +4=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=1,\qquad\lambda _2=4.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir erinnern uns an den Ansatz der Lösung (siehe Skript), es ergibt sich $y(x)=c_1 e^{1 x}+c_2 e^{4 x}.$ Um nun das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir die Anfangswerte $y(0)=1, \qquad y'(0)=2$ in die Lösung (und ihre Ableitung) $y(x)= c_1 e^x+c_2 e^{4 x}, \qquad y'(x)=c_1 e^x+4 c_2 e^{4 x},$ einsetzen, dies ergibt: $c_1+c_2=1, \\ c_1+4 c_2=2.$ Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems resultiert in der Lösung $\{c_1,c_2\}=\left\{\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right\}.$ Daraus ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems $y(x)=\frac{2 e^x}{3}+\frac{e^{4 x}}{3}.$

5 erreichbare Punkte

Welche der folgenden Funktionen löst die Differentialgleichung $x'(t)=x(t)+t^2$ mit $x(0)=1$ Nr. 3824
	$x(t)=1+\frac{t^3}{3}$
	$x(t)=3e^t-t^2-2t-2$
	$x(t)=1-e^{-t}(t^2+2t+2)$
Lösungsweg $\frac{dx}{dt}=x(t)+t^2$ Ansatz $x_h'(t)=x_h(t) \Rightarrow x_h(t)=ce^t$ c durch c(t) ersetzen $x(t)=c(t)e^t \Rightarrow x'(t)=c'(t)e^t+c(t)e^t$ in ursprüngliche Gleichung einsetzen $c'(t)e^t+c(t)e^t=c(t)e^t+t^2 \\ c'(t)=\frac{t^2}{e^t}$ integrieren $c(t)=c_2-e^{-t}(t^2+2t+2)$ c(t) in $x(t)=c(t)e^t$ einsetzen $x(t)=e^t(c_2-e^{-t}(t^2+2t+2))$ $x(t)=ce^t-t^2-2t-2$ $x(t)=ce^t-t^2-2t-2$ $x(0)=ce^{0}-0^2-2\cdot0-2 \\ x(0)= c-2 \\ 1=c-2 \\ c=3$ c einsetzen in $x(t)=ce^t-t^2-2t-2$ $x(t)=3e^t-t^2-2t-2$

3 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem, eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+4 y'(x)+4 y(x)=0,\\ y(1)=1,\quad y'(1)=0.$ Nr. 4969
	$y(x)=2 e^{2-2 x} x-e^{2-2 x}$
	$y(x)=14 e^{2-2 x}-20 e^{2-2 x} x$
	$y(x)=19 e^{2 + 2 x} x-10 e^{2 + 2 x}$
	$y(x)=e^{2-2 x}-7 e^{2+2 x}$
	$y(x)=3 e^{4-4 x}-e^{4-4 x} x$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung! Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $y(x)=e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+4 \lambda +4=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-2,\qquad\lambda _2=-2.$ Das charakteristische Polynom hat also eine doppelte Lösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x$ Um nun das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir die Anfangswerte $y(1)=1, \qquad y'(1)=0$ in die Lösung (und ihre Ableitung) $y(x)= c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x, \qquad y'(x)=-2 c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x}-2 c_2 e^{-2 x} x,$ einsetzen, dies ergibt: $\frac{c_1}{e^2}+\frac{c_2}{e^2}=1, \\ -\frac{2 c_1}{e^2}-\frac{c_2}{e^2}=0.$ Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems resultiert in der Lösung $\{c_1,c_2\}=\left\{-e^2,2 e^2\right\}.$ Daraus ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems $y(x)=2 e^{2-2 x} x-e^{2-2 x}.$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem, eine lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-y(x)=e^{-x},\\ y(0)=2,\quad y'(0)=1.$ Nr. 4985
	$y(x)=-\frac{1}{2} e^{-x} x+\frac{e^{-x}}{4}+\frac{7 e^x}{4}$
	$y(x)=-\frac{1}{2} e^{-x} x+\frac{25 e^{-x}}{4}+\frac{7 e^x}{4}$
	$y(x)=-\frac{1}{2} e^{-x} x+\frac{21 e^{-2x}}{4}+\frac{7 e^x}{4}$
	$y(x)=\frac{49 e^{-x}}{4}+\frac{7 e^x}{4}$
	$y(x)=\frac{19 e^{-x}}{20}+\frac{7 e^x}{4}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-1=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-1,\qquad\lambda _2=1.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir erinnern uns an den Ansatz der Lösung (siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-1 x}+c_2 e^{1 x}.$ Wir sehen nun, dass die rechte Seite der ursprünglichen, inhomogenen Differentialgleichung auch eine Lösung des homogenen Problems ist. Man spricht von äußerer Resonanz! Dies müssen wir im Folgenden berücksichtigen. Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x)=k e^{-x} x,\quad y_p'(x)=k e^{-x}-k e^{-x} x,\quad y_p''(x)=k e^{-x} x-2 k e^{-x}.$ Dabei kommt der Faktor x zum ursprünglichen Ansatz der rechten Seite aufgrund der Resonanz! Achtung, in der Literatur findet sich auch der Ansatz $y_p(x)=e^{-x} (d+k x),$ dieser führt nur zu einer anderen Konstante im AWP, da gilt $d e^{-x}+c_1e^{-x}=\tilde ce^{-x}.$ Nun setzen wir obigen Ansatz in die Differentialgleichung ein: $k e^{-x} x - 2 k e^{-x} - k e^{-x} x = e^{-x} \\ -2 k e^{-x} =e^{-x}\\ k = -\frac{1}{2}$ Daher ergibt sich für die Lösung $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{1}{2} e^{-x} x.$ Um nun das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir die Anfangswerte $y(0)=2, \qquad y'(0)=1$ in die Lösung (und ihre Ableitung) $y(x)= c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{1}{2} e^{-x} x, \qquad y'(x)=c_1 e^x-c_2 e^{-x}+\frac{e^{-x} x}{2}-\frac{e^{-x}}{2},$ einsetzen, dies ergibt: $c_1+c_2=2, \\ c_1-c_2-\frac{1}{2}=1.$ Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems resultiert in der Lösung $\{c_1,c_2\}=\left\{\frac{7}{4},\frac{1}{4}\right\}.$ Daraus ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems $y(x)=-\frac{1}{2} e^{-x} x+\frac{e^{-x}}{4}+\frac{7 e^x}{4}.$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem, eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+y'(x)-2 y(x)=0,\\ y(0)=1,\quad y'(0)=1.$ Nr. 4957
	$y(x)=e^x$
	$y(x)=\frac{e^x}{3}-\frac{13}{3} e^{-2 x}$
	$y(x)=\frac{10 e^x}{3}-\frac{10}{3} e^{-2 x}$
	$y(x)=-\frac{2}{3} e^{-2 x}-\frac{7 e^x}{3}$
	$y(x)=-\frac{11}{3} e^{-2 x}-\frac{13 e^x}{3}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung! Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $y(x)=e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+\lambda -2=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=1,\qquad\lambda _2=-2.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir erinnern uns an den Ansatz der Lösung (siehe Skript), es ergibt sich $y(x)=c_1 e^{1 x}+c_2 e^{-2 x}.$ Um nun das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir die Anfangswerte $y(0)=1, \qquad y'(0)=1$ in die Lösung (und ihre Ableitung) $y(x)= c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x, \qquad y'(x)=c_2 e^x-2 c_1 e^{-2 x},$ einsetzen, dies ergibt: $c_1+c_2=1, \\ c_2-2 c_1=1.$ Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems resultiert in der Lösung $\{c_1,c_2\}=\{0,1\}.$ Daraus ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems $y(x)=e^x.$

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: $y\prime\prime - 2y\prime + y = 0 \text{ mit } y(1)=1 \text{ und } y\prime(1) = e+1$ Nr. 4202
	$y(x) = e^x \Big( \frac{1}{e}-1+x \Big)$
	$y(x) = e^x \Big( \frac{1}{e}+2 \Big)$
	$y(x) = \frac{1}{e} e^x + e^{-x}$
Lösungsweg Diese Differentialgleichung löst man mit folgendem Ansatz: $y = exp(\lambda x)$ Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung ein, so erhält man: $\lambda^2 exp(\lambda x) - 2\lambda exp(\lambda x) + exp(\lambda x) = 0$ Nun kann man weiter vereinfachen zu: $\lambda^2 -2\lambda +1 =0$ Diese quadratische Gleichung in $\lambda$ kann man z.B. mit der kleinen Lösungsformel lösen: $\lambda_{1,2}=\frac{-2}{2} \pm \sqrt{ \Big( \frac{-2}{2} \Big)^2-1}= 1 \pm \sqrt{ ( 1)^2-1} = 1$ Man erhhält also: $y_1=e^x$ und $y_2=xe^x$ (hier wird mit x mulitpliziert, um zwei linear unabhängige Lösungen zu erhalten!) Die allgemeine Lösung ist somit eine Linearkombination der beiden Lösungen: $y(x)=c_1e^x + c_2xe^x$ Mit Hilfe der Anfangstwertbedingungen werden die Konstanten bestimmt: $1 = c_1 e^1+c_2e^1 = c_1 e+c_2e = e(c_1 +c_2) \\ \rightarrow \frac{1}{e}=c_1 + c_2$ Für die zweite Anfangswertbedingung musst nunächst die allgemeine Lösung einmal differenziert werden: $y\prime (x) = c_1e^x + c_2e^x + c_2xe^x= e^x(c_1+c_2+c_2x)$ Erst jetzt kann die Anfangswertbedingung eingesetzt werden: $e+1 = e(c_1+c_2+1\cdot c_2) = e(c_1 + 2c_2)$ , dividieren durch liefert $1 + \frac{1}{e} = c_1 + 2c_2 = (c_1 + c_2) + c_2$ , jetzt kann für $c_1+c_2 = \frac{1}{e}$ eingesetzt werden: $1+ \frac{1}{e} = \frac{1}{e} + c_2 \\ \rightarrow c_2 =1 \\ \rightarrow c_1 = \frac{1}{e} - c_2 = \frac{1}{e}-1$ Somit erhält man: $y(x) = \Big( \frac{1}{e}-1 \Big) e^x + e^xx = e^x \Big( \frac{1}{e}-1+x \Big)$

3 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem, eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+4 y'(x)+4 y(x)=0,\\ y(0)=1,\quad y'(0)=1.$ Nr. 4968
	$y(x)=3 e^{-2 x} x+e^{-2 x}$
	$y(x)=10 e^{-2 x}$
	$y(x)=4 e^{-2 x} x$
	$y(x)=19 e^{-2 x} x+10 e^{-2 x}$
	$y(x)=14 e^{2 x} +8 e^{-2 x}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung! Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $y(x)=e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+4 \lambda +4=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-2,\qquad\lambda _2=-2.$ Das charakteristische Polynom hat also eine doppelte Lösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x$ Um nun das Anfangswertproblem zu lösen, müssen wir die Anfangswerte $y(0)=1, \qquad y'(0)=1$ in die Lösung (und ihre Ableitung) $y(x)= c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x, \qquad y'(x)=-2 c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x}-2 c_2 e^{-2 x} x,$ einsetzen, dies ergibt: $c_1=1, \\ c_2-2 c_1=1.$ Das Lösen dieses linearen Gleichungssystems resultiert in der Lösung $\{c_1,c_2\}=\{1,3\}.$ Daraus ergibt sich für die Lösung des Anfangswertproblems $y(x)=3 e^{-2 x} x+e^{-2 x}.$

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