Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Partielle Differentiale.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(x,y,z)= 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y$ Nr. 4415
	$df=0$
	$df= -2y\sin x + 2\cos x-\frac{2z}{3}e^y(z+1)$
	$df= 2y\sin x \ \mathrm{d}x + (2\cos x-\frac{2z}{3}) \ \mathrm{d}y -\frac{2}{3}e^y \ \mathrm{d}z$
	$df= -2y\sin x\ \mathrm{d}x + (2\cos x-\frac{2z}{3}e^y)\ \mathrm{d}y -\frac{2}{3}e^y \ \mathrm{d}z$
	$df= dx-2dy+3dz$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial x} dx + \frac{ \partial f}{\partial y} dy + \frac{ \partial f}{\partial z} dz =$ $\frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial x} dx + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial y} dy + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial z} dz=$ $= -2y\sin xdx + (2\cos x-\frac{2z}{3}e^y)dy -\frac{2}{3}e^ydz$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \right)$ Nr. 4410
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 7$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 5z} \\ {3y} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 4} \\ {-1} \\ {7}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = -8$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big)$

5 erreichbare Punkte

Leiten Sie partiell nach z ab. $f(x,y,z)= e^{xy}-4z$ Nr. 3928
	$e^{xy}-4$
	$xye^{xy}-4$
	$-4$
Lösungsweg x und y als Konstanten behandeln

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(r, \varphi) = r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi)$ Nr. 4416
	$df = 2r (\cos \varphi - \sin \varphi) \ \mathrm{d}r + ( - \sin \varphi+\cos \varphi) \ \mathrm{d} \varphi$
	$df = 2r\cos \varphi + 2r\sin \varphi + r^2\cos \varphi + r^2\sin \varphi$
	$df = -2r$
	$df = 2r (\cos \varphi + \sin \varphi) \ \mathrm{d} r + r^2(\cos \varphi - \sin \varphi) \ \mathrm{d}\varphi$
	$df = \cos \varphi + \sin \varphi$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi =$ $\frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi) )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi))}{\partial \varphi} d\varphi =$ $=2r (\cos \varphi + \sin \varphi)dr + r^2(\cos \varphi - \sin \varphi) d\varphi$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Nr. 4212
	$\nabla f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ 2z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = 2\frac{x + y + z }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$
Lösungsweg $\nabla f(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)$ $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\$ $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ Also erhält man für den Gradienten von f: $\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$

3 erreichbare Punkte

Geben Sie die Divergenz des folgenden Vektorfeldes an: $\vec{A} (\vec{r}) = \left( \begin{array}{c} xy^2 \\\ xyz \\\ x^2+z^2 \\\ \end{array}\right)$ Nr. 4208
	$= 2xy + yz + x^2 +2z$
	$= \left( \begin{array}{c} y^2 \\\ xz \\\ 2z \\\ \end{array}\right)$
	$= y^2 + xz + 2z$
Lösungsweg $div \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \\$ $= \frac{\partial y^2x}{\partial x} + \frac{\partial xyz}{\partial y} + \frac{\partial (x^2+z^2)}{\partial z}$ $= y^2 + xz + 2z$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie für die folgende Funktion all ihre partiellen Ableitungen: $f(x,y) = -y^2 \ln (3x) - x^3e^{2y} +2y\cos (x^2)$ Nr. 4236
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{3x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -2y \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
Lösungsweg $f(x,y) = -y^2 \ln (3x) - x^3e^{2y} +2y\cos (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial x} = -y^2 \frac{1}{x} -3x^2e^{2y} -2y \sin (x^2)2x = \\ = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \right)$ Nr. 4411
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { e^y \frac{1}{x}} \\ {-xz} \\ { \ln(x) -\frac{1}{x}}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = e^y + \frac{1}{x}} -2z$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { \frac{1}{x}} \\ {2z+ e^y} \\ { - 1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \frac{1}{x}} -e^y + 2x$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -2xz) - \partial_z(\ln x) } \\ { \partial_z(e^y) - \partial_x(-2xz) } \\ { \partial_x(\ln x) - \partial_y(e^y) } } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \Bigg)$

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