Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Kurvendiskussion.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Der Graph der Funktion $x \qquad \to \qquad f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ besitzt den Sattelpunkt S(1/4). Berechnen Sie a1 und a2! Nr. 1589
	$f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1$
	$f(x)=x^{3}-8x^{2}+3x+3$
	$f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-3$
	$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6x+2a_{2} \end{eqnarray}$ Aus der Tatsache, dass S(1/4) ein Sattelpunkt ist, lassen sich drei Gleichungen ableiten: $\begin{eqnarray} f(1)=4 \qquad \Rightarrow \qquad 1+a_{2}+a_{1}+a_{0}=4\\ f'(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3+2a_{2}+a_{1}=0\\ f''(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 6+2a_{2}=0\\ \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} a_{2}=-3\\ a_{1}=3\\ a_{0}=3 \end{eqnarray}$ $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$ Nr. 1590
	$\begin{eqnarray} H(1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} T(-1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
	Die Funktion besitzt keine Extremwerte.
	$\begin{eqnarray} T(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\\ f'(x)=3x^{2}-6x+3\\ f''(x)=6x-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{5}\\ 3x^{2}-6x+3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}-2x+1=0\\ \vspace{5}\\ (x-1)^{2}=0\\ \vspace{5}\\ x_{1}=x_{2}=1 \end{eqnarray}$ Es liegt eine Doppelnullstelle der 1. Ableitungsfunktion vor. Das deutet auf einen Wendepunkt hin. (Wie man zb mit der zweiten Ableitung nachweisen kann, die an dieser Stelle 0 ist.)

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ Nr. 2075
	$N_{1}(0/0)$ $N_{2}(6/0)$
	$N_{1}(2/0)$ $N_{2}(1/0)$
	$N_{1}(3/0)$ $N_{2}(7/0)$
	$N_{1}(-2/0)$ $N_{2}(\frac{1}{2}/0)$
Lösungsweg $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ $f(x)=0$ $-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}=0$ $x^{2}(-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4})=0$ $x_{1,2}=0$ $-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4}=0$ $\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}$ $x_{3}=6$ $\to N_{1}\,^{(2)}(0/0)$ $\to N_{2}(6/0)$

4 erreichbare Punkte

Der Graph der Funktion $f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ hat im Ursprung einen Extremwert und besitzt den Wendepunkt $W(1/\frac{2}{3})$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2094
	$f(x)=-5x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}$
	$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x+9$
	$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$
	$f(x)=-\frac{1}{4}x^{3}+2x^{2}+6$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}$ $f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}$ Verwertung der Informationen aus der Angabe: $I: \qquad \qquad f(0)=0$ $II: \qquad f'(0)=0$ $III: \, f''(1)=0$ $IV: \, f(1)=\frac{2}{3}$ $I: \qquad \qquad a_{0}=0$ $II: \qquad a_{1}=0$ $III: \qquad 6a_{3}+2a_{2}=0 \to \qquad 3a_{3}+a_{2}=0$ $IV: \qquad a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=\frac{2}{3} \to \qquad a_{3}+a_{2}=\frac{2}{3}$ $\rule[10]{150}{1}$ $III: \qquad a_{2}=-3a_{3}$ $III\, in\, IV: \qquad a_{3}-3a_{3}=\frac{2}{3}$ $-2a_{3}=\frac{2}{3}$ $a_{3}=-\frac{1}{3}$ $a_{2}=-3\cdot (-\frac{1}{3})$ $a_{2}=1$ $\to \qquad f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2088
	$W(-6/-4)$
	$W(-4/-6)$
	$W(6/4)$
	$W(4/6)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+3$ $f''(x)=0$ $-\frac{3}{4}x+3=0$ $\frac{3}{4}x=3$ $x=4$ $f(4)=6$ $\to \qquad W(4/6)$

4 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ Nr. 2079
	$N_{1}(0/0)$ $N_{2}(4,61/0)$ $N_{3}(-2,61/0)$
	$N_{1}(7,34/0)$ $N_{2}(3,82/0)$ $N_{3}(-3/0)$
	$N_{1}(5,28/0)$ $N_{2}(-9/0)$ $N_{3}(-0,5/0)$
	$N_{1}(-3,92/0)$ $N_{2}(6,17/0)$ $N_{3}(-7,33/0)$
Lösungsweg $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ $f(x)=0$ $\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}=0$ $x^{2}\cdot (x^{2}-2x-12)=0$ $1.$ $x^{2}=0$ $x_{1,2}=0$ $\to \qquad N_{1}\,^{(2)}(0/0)$ $2.$ $x^{2}-2x-12=0$ Kleine Lösungsformel: $x_{3,4}=1\pm\sqrt{1+12}$ $x_{3}=1+\sqrt{13}=4,61$ $x_{4}=1-\sqrt{13}=-2,61$ $\to \qquad N_{2}(4,61/0)$ $\to \qquad N_{3}(-2,61/0)$

4 erreichbare Punkte

Die Funktion $f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}$ besitzt den Extremwert $E(4/4)$ . Berechnen Sie $a_{2}$ und $a_{3}$ . Nr. 2074
	$f(x)= -\frac{3}{4}x^{3}+\frac{1}{8}x^{2}$
	$f(x)=-x^{3}+4x^{2}$
	$f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$
	$f(x)= 10x^{3}-6x^{2}$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x$ $f(4)=4 \to\qquad 64a_{3}+16a_{2}=4$ $f'(4)=0 \to\qquad 48a_{3}+8a_{2}=0$ $\rule[-10]{150}{1}$ $64a_{3}+16a_{2}=4\qquad /:\qquad4$ $48a_{3}+8a_{2}=0 \qquad /:\qquad 8$ $\rule[-10]{150}{1}$ $16a_{3}+4a_{2}=1$ $6a_{3}+a_{2}=0$ $\rule[-10]{150}{1}$ $a_{2}=-6a_{3}$ $16a_{3}+4\cdot(-6a_{3})=1$ $16a_{3}-24a_{3}=1$ $a_{3}=-\frac{1}{8}$ $a_{2}=\frac{3}{4}$ $\to f(x)= -\frac{1}{8}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}\cdot x^{2}$

4 erreichbare Punkte

Die Funktion $f:\qquad x\to \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}$ besitzt den Wendepunkt $W(4/6)$ mit der Steigung der Wendetangente $\frac{3}{2}$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2086
	$f(x)=\frac{2}{7}x^{3}+x^{2}-\frac{9}{2}x-2$
	$f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-8$
	$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+7$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}$ $I:\qquad f(4)=6$ $II:\qquad f'(4)=\frac{3}{2}$ $III: \qquad f''(4)=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $I: \qquad \qquad 64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24$ $II: \qquad \qquad 48a_{3}+8a_{2}=6$ $III:\qquad 24a_{3}+2a_{2}=0$ $II-2\cdot III:$ $48a_{3}+8a_{2}=6$ $48a_{3}+4a_{2}=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $a_{2}=\frac{3}{2}$ $\rule[10]{150}{1}$ $24a_{3}+2a_{2}=0$ $24a_{3}+2\cdot \frac{3}{2}=0$ $a_{3}=-\frac{1}{8}$ $64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24$ $64\cdot (-\frac{1}{8})+16\cdot (\frac{3}{2}) +a_{0}=24$ $a_{0}=8$ $\to \qquad f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$

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