Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Funktionen von mehreren Variablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \right)$ Nr. 4408
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =-2z+1$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { 2z} \\ {x} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =2x+1$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { x- 2z} \\ {3} \\ {-y}} \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( 3) - \partial_z(y+z^2) } \\ { \partial_z(2x-y) - \partial_x(3) } \\ { \partial_x(y+z^2) - \partial_y(2x-y) } } \Bigg)$ $= \Big( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \Big)$

5 erreichbare Punkte

Bestimmen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y) = x^2 + y^2$ Nr. 4207
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2y \\\ 2x \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = 2x + 2y$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} x^2 \\\ y^2 \\\ \end{array}\right)$
Lösungsweg Der Gradient ist gegeben durch: $\nabla f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \right)$ Nr. 4407
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { y} \\ {-z} \\ {x}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = x+y+z$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 1} \\ {-1} \\ {1}} \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Big( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \Big)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( z) - \partial_z(y) } \\ { \partial_z(x) - \partial_x(z) } \\ { \partial_x(y) - \partial_y(x) } } \Bigg) = \Big( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \Big)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten von: $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$ . Nr. 4213
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x - x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \ln x } \\ {e^{x}} \\ { \frac{1}{x} } \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x + \sin x + e^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
Lösungsweg $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \\ = x^2 + x\cdot \sin x + ye^x + z\ln x$ $\nabla V(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} { \frac{\partial V}{\partial x} }\\ { \frac{\partial V}{\partial y} } \\ { \frac{\partial V}{\partial z} } \end{array}\right)$ $\frac{\partial V}{\partial x} = 2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$ $\frac{\partial V}{\partial y} = e^x$ $\frac{\partial V}{\partial z} = \ln x$ $\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \right)$ Nr. 4410
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 7$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 5z} \\ {3y} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 4} \\ {-1} \\ {7}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = -8$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big)$

5 erreichbare Punkte

Was ist der Gradient $\nabla f$ von $f(x,y)=3x^2-2xy$ an der Stelle (1,2) ? Nr. 4037
	-1
	$\begin{pmatrix}1\\ -4 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $f(x,y)=3x^2-2xy$ Partielle Ableitungen: $\frac{\part f}{\part x}= 6x-2y$ $\frac{\part f}{\part y}= -2x$ $\nabla f= \begin{pmatrix}6x-2y \\ -2x \end{pmatrix}$ $\nabla f (1,2) = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}$

3 erreichbare Punkte

Geben Sie die Divergenz des folgenden Vektorfeldes an: $\vec{A} (\vec{r}) = \left( \begin{array}{c} xy^2 \\\ xyz \\\ x^2+z^2 \\\ \end{array}\right)$ Nr. 4208
	$= 2xy + yz + x^2 +2z$
	$= \left( \begin{array}{c} y^2 \\\ xz \\\ 2z \\\ \end{array}\right)$
	$= y^2 + xz + 2z$
Lösungsweg $div \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \\$ $= \frac{\partial y^2x}{\partial x} + \frac{\partial xyz}{\partial y} + \frac{\partial (x^2+z^2)}{\partial z}$ $= y^2 + xz + 2z$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \right)$ Nr. 4409
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 0$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 1-\sin(x) +2xz$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {0 } \\ { z - \sin (x)) } \\ { -2x +x z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {-1 } \\ {3 } \\ {0 } } \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( \cos (x)) - \partial_z(x^2-z) } \\ { \partial_z(xyz) - \partial_x(\cos (x)) } \\ { \partial_x(x^2-z) - \partial_y(xyz) } } \Bigg) =$ $= \Bigg( \array { {0 - (-1) } \\ { xy - (-\sin (x)) } \\ { 2x - xz } } \Bigg) = \Bigg( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \Bigg)$

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