Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Funktionen von mehreren Variablen.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Bestimmen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y) = x^2 + y^2$ Nr. 4207
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2y \\\ 2x \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = 2x + 2y$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} x^2 \\\ y^2 \\\ \end{array}\right)$
Lösungsweg Der Gradient ist gegeben durch: $\nabla f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Nr. 4212
	$\nabla f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ 2z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = 2\frac{x + y + z }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$
Lösungsweg $\nabla f(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)$ $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\$ $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ Also erhält man für den Gradienten von f: $\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$

3 erreichbare Punkte

Sei f(x,y)=2x+y+1 Für welche x,y ist f(x,y)=0? Nr. 3876
	x=0, y=0
	y=-(2x+1)
	x=1, y=-3

Sei f(x,y)=2x+y+1

Für welche x,y ist f(x,y)=0?

Nr. 3876

x=0, y=0

y=-(2x+1)

x=1, y=-3

3 erreichbare Punkte

Was ist der Gradient $\nabla f$ der Funktion $f(x,y,z)=x^2y+3z$ and der Stelle (1,3,9)? Nr. 4038
	$\begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}1 \\ 3\\ 27 \end{pmatrix}$
	30
Lösungsweg $f(x,y,z)=x^2y+3z$ Partielle Ableitungen: $\frac{\part f}{\part x}= 2xy$ $\frac{\part f}{\part y}= x^2$ $\frac{\part f}{\part z}= 3$ $\nabla f= \begin{pmatrix}2xy \\ x^2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\nabla f (1,3,9) = \begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$

3 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Divergenz des Ortsvektors: $\vec{r}=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$ Nr. 4214
	= 0
	= 3
	$=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$
	= x + y + z
Lösungsweg $div (\vec{r}) = \nabla \cdot \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) =$ $= \frac{ \partial \vec{r_x} }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec{r_y} }{ \partial y} + \frac{ \partial \vec{r_z} }{ \partial z} = \\ = 1 + 1 + 1 = 3$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie den Gradienten von: $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$ . Nr. 4213
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x - x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \ln x } \\ {e^{x}} \\ { \frac{1}{x} } \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x + \sin x + e^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
Lösungsweg $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \\ = x^2 + x\cdot \sin x + ye^x + z\ln x$ $\nabla V(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} { \frac{\partial V}{\partial x} }\\ { \frac{\partial V}{\partial y} } \\ { \frac{\partial V}{\partial z} } \end{array}\right)$ $\frac{\partial V}{\partial x} = 2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$ $\frac{\partial V}{\partial y} = e^x$ $\frac{\partial V}{\partial z} = \ln x$ $\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \right)$ Nr. 4409
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 0$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 1-\sin(x) +2xz$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {0 } \\ { z - \sin (x)) } \\ { -2x +x z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {-1 } \\ {3 } \\ {0 } } \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( \cos (x)) - \partial_z(x^2-z) } \\ { \partial_z(xyz) - \partial_x(\cos (x)) } \\ { \partial_x(x^2-z) - \partial_y(xyz) } } \Bigg) =$ $= \Bigg( \array { {0 - (-1) } \\ { xy - (-\sin (x)) } \\ { 2x - xz } } \Bigg) = \Bigg( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \Bigg)$

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \right)$ Nr. 4410
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 7$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 5z} \\ {3y} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 4} \\ {-1} \\ {7}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = -8$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big)$

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