Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Elementare Zahlentheorie.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Welche Elemente aus $\mathbb{Z}_{10}$ (Menge aller Restklassen modulo 10) haben ein multiplikatives Inverses? Nr. 4653
	3
	5
	6
	7
	9
Lösungsweg x hat genau dann ein multiplikatives Inverses in $\mathbb{Z}_{10}$ , wenn x und 10 teilerfremd sind. Das gilt für x=1, 3, 7 und 9. Das multiplikative Inverse von 1 mod 10 ist 1 (denn 1x1 = 1 mod 10). Das multiplikative Inverse von 3 mod 10 ist 7 (denn 3x7 = 21 = 1 mod 10). Umgekehrt ist also 3 das multiplikative Inverse von 7 mod 10. Das multiplikative Inverse von 9 mod 10 ist 9 (denn 9x9 = 81 = 1 mod 10).

5 erreichbare Punkte

Welche Aussagen treffen zu? Es gibt einen Körper mit ... Nr. 4690
	2 Elementen.
	7 Elementen.
	16 Elementen.
	22 Elementen.
Lösungsweg Es gibt genau dann einen Körper mit n Elementen, wenn $n = p^k$ eine Primzahlpotenz ist. Das gilt für n = 2, n=7 und $n=16 = 2^4$ , nicht jedoch für n=22.

4 erreichbare Punkte

Berechnen Sie $2^{22} \;mod \;11$ ohne Taschenrechner! (Tipp: In einer Gruppe G gilt $g^{\|G\|} = 1$ für jedes Gruppenelement g.) Nr. 4703
	1
	2
	4
	8
Lösungsweg Die Ordnung von $\mathbb{Z}^*_{11}$ ist 10 (denn 11 ist eine Primzahl), somit ist $2^{10} = 1\; mod\; 11$ . Es folgt: $2^{22} = (2^{10})^2 \cdot 2^2 = 1 \cdot 2^2 = 4 \;mod \;11$

4 erreichbare Punkte

Die Eulersche $\varphi$ -Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl derjenigen Zahlen aus $\left\{1,2,...,n \right\}$ zu, die teilerfremd zu n sind. Welche Aussagen über die Phi-Funktion treffen zu? Nr. 4697
	$\varphi(3) = 2$
	$\varphi(6) = 2$
	$\varphi(8) = 3$
	$\varphi(10) = 4$
Lösungsweg $\varphi(3) = 2$ , denn ggT(3,1) = ggT(3,2) = 1. Es gibt also 2 Zahlen zwischen 1 und 3, die teilerfremd zu 3 sind (ggT: größter gemeinsamer Teiler). $\varphi(6) = 2$ , denn ggT(6,1) = ggT(6,5) = 1, ggT(6,2) = ggT(6,4) = 2 und ggT(6,3) = 3. Es gibt also 2 Zahlen zwischen 1 und 6, die teilerfremd zu 6 sind. $\varphi(8) = 4$ , denn ggT(8,1) = ggT(8,3) = ggT(8,5) = ggT(8,7) = 1, ggT(8,2) = ggT(8,6) = 2 und ggT(8,4) = 4. Es gibt also 4 Zahlen zwischen 1 und 8, die teilerfremd zu 8 sind. $\varphi(10) = 4$ , denn ggT(10,1) = ggT(10,3) = ggT(10,7) = ggT(10,9) = 1, ggT(10,2) = ggT(10,4) = ggT(10,6) = ggT(10,8) = 2 und ggT(10,5) = 5. Es gibt also 4 Zahlen zwischen 1 und 10, die teilerfremd zu 10 sind.

4 erreichbare Punkte

Die Eulersche $\varphi$ -Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Zahlen aus $\left\{1,2,...,n \right\}$ zu, die teilerfremd zu n sind. Was gilt im Falle einer Primzahl n=p? Nr. 4711
	$\varphi(p) = p$
	$\varphi(p) = p-1$
	$\varphi(p) = p-2$
	$\varphi(p) = (p-1)/2$
Lösungsweg Für jede Primzahl p ist $\varphi(p) = p-1$ , denn eine Primzahl hat nur 1 und sich selbst als Teiler. Somit ist ggT(p,1) = 1, ggT(p,p) = p und ggT(p,m) = 1 für alle ganzen Zahlen m mit $1<m<p$ .

4 erreichbare Punkte

Welche Zahlen sind kongruent modulo 3 ? Nr. 3871
	$3 \equiv 9 \pmod{3}$
	$4 \equiv 19 \pmod{3}$
	$5 \equiv 15 \pmod{3}$
	$6 \equiv 25 \pmod{3}$
	6:3= 2 Rest 0, 25:3= 8 Rest
Lösungsweg Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m wenn a-b ein Vielfaches von m ist.

5 erreichbare Punkte

Berechnen Sie $6^{99}\; mod \; 100$ durch schnelle Exponentiation! Nr. 4720
	16
	36
	56
	96
Lösungsweg Wir schreiben die Potenz 99 in Binärdarstellung: $99 = 64 + 32 + 2 + 1 = 2^6 + 2^5 + 2^1 + 2^0$ Somit ist $6^{99} = 6^{(2^6)} \cdot 6^{(2^5)} \cdot 6^{(2^1)} \cdot 6^{(2^0)} \;mod\; 100$ . Wir berechnen nun die einzelnen Faktoren modulo 100: $\begin{tabular}{r\|rrrrrrr} i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2^i & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64\\ 6^{(2^i)} & 6 & 36 & -4 & 16 & 56 & 36 & -4\\ \end{tabular}$ Somit ist $6^{99} = 6 \cdot 36 \cdot 36 \cdot (-4) = 6 \cdot (-4) \cdot (-4) = 96 \;mod\; 100$ .

4 erreichbare Punkte

Die Eulersche $\varphi$ -Funktion ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Zahlen aus $\left\{1,2,...,n \right\}$ zu, die teilerfremd zu n sind. Ist $n=p\cdot q$ ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen, so gilt: Nr. 4712
	$\varphi (pq) = pq-1$
	$\varphi (pq) = p+q-1$
	$\varphi (pq) = (p-1)(q-1)$
Lösungsweg Sei $a \in \left\{1,2,...,n \right\}$ . Die Zahlen a und n = pq können nur dann gemeinsame Teiler haben, wenn a ein Vielfaches von p oder q ist, denn p und q sind Primzahlen (und haben somit selbst keine echten Teiler). Es gibt q Vielfache von p in $\left\{1,2,...,n \right\}$ , und zwar p, 2p, 3p,..., qp. Ebenso gibt es p Vielfache von q in $\left\{1,2,...,n \right\}$ , und zwar q, 2q, 3q,..., pq. Bis auf pq sind diese wegen $p \neq q$ alle verschieden. Diese p+q Vielfachen müssen wir also von n abziehen, um die Anzahl der zu n teilerfremdem Zahlen zu ermitteln (und 1 addieren, da wir sonst den Kandidaten n=pq zweimal abziehen): $\varphi (n) = n - p - q +1 = pq-p-q+1 = (p-1)(q-1)$

3 erreichbare Punkte

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