Übungstest

Dieser Übungstest besteht aus 8 Fragen zu Endliche Körper.
Die Schwierigkeitsstufe ist leicht bis schwer.
Es können bei jeder Frage eine oder mehrere Antworten korrekt sein, aber nie alle.

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Zerlegen Sie $x^2 + 6x + 12$ über $\mathbb{R}$ in irreduzible Faktoren! Nr. 4689
	$x^2 + 6x + 12$ ist bereits irreduzibel über $\mathbb{R}$ .
	$x^2 + 6x + 12 = (x+2)\cdot(x+6)$
	$x^2 + 6x + 12 = (x-2)\cdot(x-6)$
	$x^2 + 6x + 12 = (x+3)\cdot(x+4)$
Lösungsweg Ein Polynom vom Grad 2 (oder 3) ist irreduzibel über einem Körper $\mathbb{K}$ genau dann, wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{K}$ hat. Wir suchen also die Nullstellen des Polynoms $x^2 + 6x + 12$ . Mit der p-q-Formel folgt $x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{-3} \; \notin \; \mathbb{R}$ . Da man aus negativen Zahlen in $\mathbb{R}$ keine Wurzel ziehen kann, hat das Polynom keine reellen Nullstellen. Somit ist $x^2 + 6x + 12$ irreduzibel über $\mathbb{R}$ .

4 erreichbare Punkte

Berechnen sie im Polynomkörper $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x+1}$ : $(x+1)\cdot x^2$ Nr. 4004
	$x^3+x^2$
	$x^2+x+1$
	1
Lösungsweg $x^3+x^2 \ \mathrm{mod} \ x^3+x+1 = x^2+x+1$ (mit -1 mod 2 =1)

3 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4719
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 5 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 4 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Auflösen der 1. Zeile nach $x_1$ ergibt $2x_1 = 6-x_3$ und somit $x_1 = 3-6x_3 = 3+5x_3$ (denn 6 ist das Inverse von 2 modulo 11). Auflösen der 2. Zeile nach $x_2$ ergibt $x_2 = -2x_3$ . Einsetzen der Gleichungen für $x_1$ und $x_2$ in die 3. Zeile ergibt $3+5x_3 - 2x_3 + x_3 = 3+4x_3 = 4$ und somit $x_3 = 4^{-1}\cdot 1 = 3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Daraus folgt $x_1 = 3+5 \cdot 3 = 7$ und $x_2 = -2 \cdot 3 = 5$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

4 erreichbare Punkte

Welches Polynom m(x) bildet als $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ einen Körper mit 8 Elementen? Nr. 4692
	$m(x) = x^3+x+1$
	$m(x) = x^3+x^2+x+1$
	$m(x) = x^2+x+1$
	$m(x) = x^3+x^2+1$
Lösungsweg Damit $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ ein Körper mit 8 Elementen ist, muss m(x) ein über $\mathbb{Z}_2$ irreduzibles Polynom vom Grad 3 sein. Es gibt 8 Polynome vom Grad 3 über $\mathbb{Z}_2$ , sie haben die Form $x^3 + kx^2 +lx + m$ mit $k,l,m \in \mathbb{Z}_2$ : $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1\\ b(x) = x^3 + x^2 + x\\ c(x) = x^3 + x^2 + 1\\ d(x) = x^3 + x^2\\ e(x) = x^3 + x + 1\\ f(x) = x^3 + x\\ g(x) = x^3 + 1\\ h(x) = x^3$ Ein Polynom vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel über $\mathbb{Z}_2$ , wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{Z}_2$ hat. Somit scheiden die Polynome a, b, d, f, g und h aus, denn a(1) = b(0) = d(0) = f(0) = g(1) = h(0) = 0. Also sind nur c und e irreduzibel, d.h. $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x^2+1}$ und $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x+1}$ sind Körper. Sie enthalten die Polynome vom Grad 3 über $\mathbb{Z}_2$ modulo $x^3+x^2+1$ bzw. $x^3+x+1$ .

4 erreichbare Punkte

Welches Polynom m(x) bildet als $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ einen Körper mit 16 Elementen? Nr. 4717
	$m(x) = x^4+1$
	$m(x) = x^4+x^2+1$
	$m(x) = x^4+x+1$
	$m(x) = x^4+x^3+1$
	$m(x) = x^4+x^3+x$
Lösungsweg $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ ist genau dann ein Körper mit 16 Elementen, wenn m(x) ein über $\mathbb{Z}_2$ irreduzibles Polynom vom Grad 4 ist. Dies trifft zu auf $m_1(x) = x^4+x+1$ und auf $m_2(x) = x^4+x^3+1$ : Beide haben keine Nullstelle in $\mathbb{Z}_2$ und sind somit nicht in Polynome vom Grad 1 bzw. 3 zerlegbar. Nun müssen wir noch die Zerlegbarkeit in (irreduzible) Polynome vom Grad 2 mittels Polynomdivision überprüfen: $(x^4+x+1):(x^2+x+1) = x^2 + x$ ; Rest 1 $(x^4+x^3+1):(x^2+x+1) = x^2+1$ ; Rest x $m_1(x)$ und $m_2(x)$ lassen sich also auch nicht in Polynome vom Grad 2 zerlegen und sind damit beide irreduzibel. $\mathbb{Z}_2[x]_{m_1(x)}$ und $\mathbb{Z}_2[x]_{m_2(x)}$ ist also jeweils ein Körper mit 16 Elementen.

5 erreichbare Punkte

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4718
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Aus der 3. Zeile folgt $4x_3 = 1$ und somit $x_3=3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Einsetzen von $x_3=3$ in die 1. Zeile ergibt $x_2 + 3x_3 = x_2 + 9 = 0$ und somit $x_2=2$ . Einsetzen von $x_2 = 2$ in die 2. Zeile ergibt $5x_1+ 2x_2 = 5x_1 + 4 = 9$ und somit $x_1=1$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

4 erreichbare Punkte

Welche dieser Mengen ist ein Körper? Nr. 4664
	$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}_3, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}_6, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$
	$(\mathbb{R}, +, \cdot)$
Lösungsweg Folgendes muss gelten, damit $(K, +, \cdot)$ ein Körper ist: $(K, +)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. $(K\setminus \left\{0\right\}, \cdot)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1. $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ für alle a,b,c in K (Distributivgesetz) Dies erfüllen $(\mathbb{Z}_3, +, \cdot)$ sowie $(\mathbb{Q} +, \cdot)$ und $(\mathbb{R} +, \cdot)$ . Bei den anderen Beispielen scheitert es am multiplikativen Inversen.

5 erreichbare Punkte

Zerlegen Sie $x^2 + x - 12$ über $\mathbb{R}$ in irreduzible Faktoren! Nr. 4688
	$x^2 + x - 12$ ist bereits irreduzibel über $\mathbb{R}$ .
	$x^2 + x - 12 = 1 \cdot (x^2 + x - 12)$
	$x^2 + x - 12 = (x+3)\cdot(x-4)$
	$x^2 + x - 12 = (x-3)\cdot(x+4)$
Lösungsweg Ein Polynom vom Grad 2 (oder 3) ist irreduzibel über einem Körper $\mathbb{K}$ genau dann, wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{K}$ hat. Wir suchen also die Nullstellen des Polynoms $x^2 + x - 12$ . Mit der p-q-Formel folgt $x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{7}{2} = \left\{ 3, -4\right\} \in \mathbb{R}$ . Somit ist $x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4)$ . (x-3) und (x+4) sind (wie alle Polynome vom Grad 1) irreduzibel.

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