Fragenliste von Vektorprodukt

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a= \begin{pmatrix} 3 \\2 \\-1 \end{pmatrix}$ , $\vec b= \begin{pmatrix} -2 \\1 \\4 \end{pmatrix}$ Nr. 2109
	$\vec a \times \vec b = -8$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2\cdot 4 -(-1)\cdot 1 \\ (-1)\cdot (-2) - 3\cdot 4 \\ 3\cdot 1 - 2\cdot (-2) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ -10 \\ 7 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2110
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = 0$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ -3-4 \\ 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ Nr. 2353
	5
	11.2
	2.2
	17.3
Lösungsweg $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 -(-1) \cdot 2\\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot (-1) -2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$ $\|\vec a \times \vec b\|= \sqrt {10^2+(-5)^2} \approx 11.2$

Berechnen Sie die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts $\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}$ Nr. 2354
	9
	11
	7
	17,3
	11,9
Lösungsweg $\vec a = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0\end{pmatrix}$ $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 3 \cdot 0 - 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\|\vec a \times \vec b \|= \sqrt{8^2+4^2+(-1)^2}=9$

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3004
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 5 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 11 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = 0$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} -11 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 8-(-3) \\ -3-4 \\ 2-4 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie das Vektorprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3005
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3006
	0
	8,8
	10
	13,2
	15,3

Berechnen Sie die Fläche des von $\vec a$ und $\vec b$ aufgespannten Parallelogramms mit Hilfe des Kreuzprodukts $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3007
	0
	1
	2
	2,8
	3,9
Lösungsweg 2 parallele Vektoren können kein Parallelogramm aufspannen. Das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren ist stets 0.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}$ Nr. 3008
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 18 \\ 60 \\ -12 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec {AB} = B - A$ und $\vec {AC} = C - A$ $\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC}$

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec {AB}$ entspricht der z-Achse, $\vec {AC}$ entspricht der x-Achse. $\vec n$ muss daher parallel zur y-Achse sein.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3010
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC}$

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ Nr. 3011
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{1} \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ \sqrt{2} \\ \sqrt{1} \end{pmatrix}$

Bestimmen Sie die Parameter $u$ und $v$ so, dass der Vektor $\vec c$ sowohl zu $\vec a$ als auch zu $\vec b$ orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Vektorprodukts. $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}$ Nr. 3012
	$u = 4,6 \\ v = -4,8$
	$u = -23 \\ v = 24$
	$u = -4,6 \\ v = 4,8$
	$u = -4,8 \\ v = 4,6$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b$ ist orthogonal auf $\vec a$ und auf $\vec b$ , daher parallel zu $\vec c$ .

Bilden Sie mit den Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ das folgende Produkt: $(\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b)$ Nr. 3014
	$(\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = \begin{pmatrix} -12 \\ 30 \\ -18 \end{pmatrix}$
	$(\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = \begin{pmatrix} -8 \\ 20 \\ 16 \end{pmatrix}$
	$(\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = -6 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}$
	$(\vec a + \vec b) \times (\vec c - \vec b) = 4 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$

Bilden Sie mit den Vektoren $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ das folgende Produkt (Spatprodukt): $(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b$ Nr. 3015
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ 54 \\ 6 \end{pmatrix}$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = 84$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 24 \\ -54 \\ 6 \end{pmatrix}$
	$(\vec a \times \vec c) \cdot \vec b = -24$

Sind die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ linear unabhängig oder linear abhängig? $\vec a = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3016
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear abhängig.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante $det A \neq 0$ ist. Die Determinante von A ist aber genau das Spatprodukt $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c$ der Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ und $\vec c$ .

Sind die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ linear unabhängig oder linear abhängig? $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3017
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear abhängig.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante $det A \neq 0$ ist bzw. wenn das Spatprodukt $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not= 0$

Sind die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ linear unabhängig oder linear abhängig? $\vec a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} -13 \\ -2 \\ 13 \end{pmatrix}$ Nr. 3018
	Die Aufgabe ist nicht lösbar.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear abhängig.
	Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind linear unabhängig.
Lösungsweg Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ , $\vec c$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Matrix A regulär ist, also die Determinante $det A \neq 0$ ist, bzw das Spatprodukt $(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c \not = 0$

Gegeben ist der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ Finden Sie den Vektor $\vec b$ , der normal auf $\vec a$ steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von $\vec a$ hat. Nr. 3019
	$\vec b = \begin{pmatrix} 3,32 \\ -1,11 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor $\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ repräsentieren. Der gesuchte Vektor $\vec b$ ist also normal zu $\vec a$ und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): $\vec b' = \vec a \times \vec z$ $\\| \vec a\| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{7}{2}$ $\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}$

Gegeben ist der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}$ Finden Sie den Vektor $\vec b$ , der normal auf $\vec a$ steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von $\vec a$ hat. Nr. 3020
	$\vec b = \begin{pmatrix} 4,37 \\ -1,09 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor $\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ repräsentieren. Der gesuchte Vektor $\vec b$ ist also normal zu $\vec a$ und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): $\vec b' = \vec a \times \vec z$ $\\| \vec a\| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{9}{2}$ $\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}$

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