Fragenliste von Unbestimmte Integrale - Substitution

Integrieren Sie mittels linearer Substitution $\int (3x+5)^4 \ \mathrm{d}x$ Nr. 2133
	$\frac {(3x+5)^5} {5} + C$
	$\frac 1 {15} (3x+5)^5 + C$
	$\frac{(\frac{3x^2}{2}+5x)^5}5 + C$
	$\frac {3 (3x+5)^5}{5} + C$
Lösungsweg $\int (3x+5)^4 \ \mathrm{d}x$ Setze $u= 3x+5$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}= 3 \\ \mathrm{d}x=\frac 1 3 \mathrm{d}u$ $\int (3x+5)^4 \ \mathrm{d}x = \int u^4 \frac 1 3 \cdot \mathrm{d}u = \frac 1 3 \cdot \frac{u^5}{5}=\\ \frac 1 {15} (3x+5)^5 + C$

Integrieren Sie mittels linearer Substitution $\int (-5x+8)^7 \ \mathrm{d}x$ Nr. 2134
	$-\frac 1 {40} (-5x+8)^8 +C$
	$\frac18 (-5x+8)^8 +C$
	$\frac{1}{8}(8x -\frac{5x^2}{2})^8$
	$\frac 1 {40} (-5x+8)^8 +C$
Lösungsweg $\int (-5x+8)^7 \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } -5x+8=u$ $-5= \frac {\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}x=-\frac 1 5 \mathrm{d}u$ $\int (-5x+8)^7 \ \mathrm{d}x =\int u^7 \left(-\frac 1 5 \right) \mathrm{d}u= -\frac 1 5 \int u^7 \mathrm{d}u =$ $-\frac 1 5 \cdot \frac {u^8}{8} = -\frac 1 {40} (-5x+8)^8 +C$

Integrieren Sie mittels linearer Substitution $\int \frac 1 {3x+4} \ \mathrm{d} x$ Nr. 2135
	$\frac 1 {3x} +C$
	$\frac 1 {\ln x} (3x+4) + C$
	$\frac 1 3 \ln (3x+4)+C$
Lösungsweg $\int \frac 1 {3x+4} \ \mathrm{d} x$ $\text{setze } 3x+4=u$ $3=\frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}x=\frac 1 3 \mathrm{d}u$ $\int \frac 1 {3x+4} \ \mathrm{d} x = \int \frac 1 u \cdot \frac 1 3 \cdot \mathrm{d}u=$ $\frac 1 3 \ln u = \frac 1 3 \ln(3x+4)+C$

Berechnen Sie mittels Substitution $\int \frac 1 {(3x+4)^2} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2136
	$\frac 1 {(3x+4)^3} + C$
	$2x^2 +C$
	$-\frac 1 {3(3x+4)}+C$
Lösungsweg $\int \frac 1 {(3x+4)^2} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } 3x+4=u$ $3=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}$ $\mathrm{d}x=\frac 1 3 \mathrm{d}u$ $\int \frac 1 {(3x+4)^2} \ \mathrm{d}x = \int \frac 1 {u^2} \cdot \frac 1 3 \cdot \mathrm{d}u = \frac 1 3 \cdot \int u^{-2} \ \mathrm{d}u=$ $\frac 1 3 \cdot \frac {u^{-1}}{-1}=-\frac 1 3 \cdot \frac 1 u = -\frac 1 {3(3x+4)}+C$

Berechnen Sie mittels Substitution $\int A\cdot \sin(\omega t+\varphi) \ \mathrm{d}t$ Nr. 2137
	$-\frac A \omega \cos(\omega t + \varphi)+C$
	$A \cos(\omega t + \varphi)+C$
	$\omega t+ \varphi - \sin A$
Lösungsweg $\int A\cdot \sin(\omega t+\varphi) \ \mathrm{d}t$ $\text{setze } \ \omega t + \varphi = u$ $\omega=\frac {\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ $\mathrm{d}t=\frac 1 \omega \mathrm{d}u$ $\int A\cdot \sin(\omega t+\varphi_0) \ \mathrm{d}t = \frac A \omega \cdot \int \sin u \cdot \mathrm{d}u=$ $\frac A \omega (-\cos u) = -\frac A \omega \cos(\omega t + \varphi)+C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int e^{2x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2156
	$\frac{e^{2x}}2 +C$
	$e^{2x} +C$
	$\frac{e^{2x}}{2x} +C$
Lösungsweg $\text{setze } u=2x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 2x$ $\mathrm{d}x= \frac 12 \mathrm{d}u$ $\int e^{2x}\ \mathrm{d}x= \int e^u \cdot \frac 12\cdot \mathrm{d}u=$ $\frac 12 e^u = \frac{e^{2x}}2 +C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int e^{3x-5}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2157
	$e^{3x-5}+C$
	$\frac{e^{3x-5}}{3}+C$
	$3e^{3x-5}+C$
Lösungsweg $\text{setze } u=3x-5$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x-5)$ $\mathrm{d}x=\frac 13 \mathrm{d}u$ $\int e^{3x-5}\ \mathrm{d}x= \int e^u \cdot \frac 13 \mathrm{d}u =$ $\frac 13 \cdot \int e^u \mathrm{d}u = \frac 13 e^u= \frac{e^{3x-5}}{3}+C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int e^{-2x+7} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2158
	$-\frac{e^{-2x+7}}{2}+C$
	$e^{-2x+7} + C$
	$-2x \cdot e^x +C$
	$-2 \cdot e^{-2} +C$
Lösungsweg $\text{setze } u=-2x+7$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x+7)$ $\mathrm{d}x=-\frac 12 \mathrm{d}u$ $\int e^{-2x+7}\ \mathrm{d}x= \int e^u \cdot \left( -\frac 12\right) \mathrm{d}u =$ $\left( -\frac 12\right) \cdot \int e^u \mathrm{d}u = \left( -\frac 12\right) e^u= -\frac{e^{-2x+7}}{2}+C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int U \cdot e^{-\frac t\tau}\ \mathrm{d}t$ Nr. 2159
	$U\frac{e^{-\frac t\tau}}{\tau}+C$
	$e^{-\frac t\tau}+C$
	$-U\tau e^{-\frac t\tau}+C$
Lösungsweg $\text{setze } u=-\frac t\tau$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(-\frac t\tau)$ $\mathrm{d}t=-\tau \ \mathrm{d}u$ $\int U \cdot e^{-\frac t\tau}\ \mathrm{d}t= \int U \cdot e^{u}\cdot (-\tau)\ \mathrm{d}u=$ $U \cdot e^{u}\cdot (-\tau)\ = -U\tau e^{-\frac t\tau}+C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x^3 \cdot e^{x^4} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2906
	$\frac{1}{4} e^{x^4} + C$
	$4 e^{x^4} + C$
	$\frac{1}{4} e^{x^5} + C$
	$\frac{1}{4} e^{x^4+1} + C$
Lösungsweg $\int x^3 \cdot e^{x^4} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^4$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^4)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{4x^3} \mathrm{d}u$ $\int x^3 \cdot e^{x^4} \ \mathrm{d}x= \int x^3 \cdot e^u \cdot \frac{1}{4x^3} \mathrm{d}u =$ $\left( \frac 14 \right) \cdot \int e^u \mathrm{d}u = \left( \frac 14 \right) \cdot e^u =$ $\left( \frac 14 \right) \cdot e^{x^4} + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2907
	$-\ln \\| 1-e^x \\| + C$
	$\ln \\| \frac{1}{1-e^x} \\| + C$
	$\ln \\| 1-e^x \\| + C$
	$-e^x$
Lösungsweg $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=1-e^x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-e^x)$ $\mathrm{d}x=- \frac {1}{e^x} \mathrm{d}u$ $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x= \int \frac{e^x}{u}\cdot ( - \frac{1}{e^x}) \mathrm{d}u =$ $- \int \left( \frac 1u \right) \cdot \mathrm{d}u = - \ln\\| u \\| + C =- \ln\\| 1-e^x \\| + C =$ $\ln\\| (1-e^x)^{-1} \\| + C = \ln\\| \frac{1}{(1-e^x)}\\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{1}{x \cdot \ln(x) } \ \mathrm{d}x$ Nr. 2908
	$\ln(\ln(x)) + C$
	$\ln(x) + C$
	$x + C$
	$\frac{1}{x \cdot \ln(x) } + C$
Lösungsweg $\int \frac{1}{x \cdot \ln(x) } \ \mathrm{d}x$ $\int x^3 \cdot e^{x^4} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\ln(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(x))$ $\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{1}{x \cdot \ln(x) } \ \mathrm{d}x = \int \frac{1}{x \cdot u } \cdot x \ \mathrm{d}u =$ $\int \frac{1}{u } \ \mathrm{d}u = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2909
	$\frac12 \cdot \sin(x^2) + C$
	$2 \cdot \sin(x^2) + C$
	$- \frac12 \cdot \sin(x^2) + C$
	$\frac12 \cdot \sin(2x) + C$
Lösungsweg $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int x \cdot \cos(x^2) \ \mathrm{d}x = \int x \cdot \cos(u) \cdot \frac1{2x} \ \mathrm{d}u=$ $\frac12 \cdot \int \cos(u) \ \mathrm{d}u = \frac12 \cdot \sin(u) \ =$ $\frac12 \cdot \sin(x^2)$

Berechnen Sie folgendes Integral $\int x \cdot \sin(x^2) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2910
	$\frac12 \cdot \cos(x^2) + C$
	$-\frac12 \cdot \cos(x^2) + C$
	$2 \cdot \cos(x^2) + C$
	$- \frac12 \cdot \sin(x^2) + C$
Lösungsweg $\int x \cdot \sin(x^2) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int x \cdot \sin(x^2) \ \mathrm{d}x = \int x \cdot \sin(u) \cdot \frac1{2x} \ \mathrm{d}u=$ $\frac12 \cdot \int \sin(u) \ \mathrm{d}u = - \frac12 \cdot \cos(u) \ =$ $-\frac12 \cdot \cos(x^2)$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2911
	$2 \cdot \sqrt{x-1} + C$
	$\frac12 \cdot \sqrt{x-1} + C$
	$2 \cdot \frac1{ \sqrt{x-1}} + C$
Lösungsweg $\int \frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x-1$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x-1)$ $\mathrm{d}x= \mathrm{d}u$ $\int \frac{1}{\sqrt{x-1}} \ \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \ \mathrm{d}u =$ $\int u^{-\frac12}\ \mathrm{d}u = u^{\frac12}\ \cdot \frac1{\frac12} + C =$ $u^{\frac12}\ \cdot\ 2 + C= 2 \cdot (x-1) + C= 2 \cdot \sqrt{x-1}+ C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{x}{\sqrt{100-2x^2}} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2912
	$- \frac12 \sqrt {100-2x^2} + C$
	$- \frac1{2 \cdot \sqrt {100-2x^2}} + C$
	$\frac12 \sqrt {100-2x^2} + C$
	$2 \cdot \sqrt {100-2x^2} + C$
Lösungsweg $\int \frac{x}{\sqrt{100-2x^2}} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=100-2x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(100-2x^2)$ $\mathrm{d}x= -\frac1{4x}\mathrm{d}u$ $\int \frac{x}{\sqrt{100-2x^2}} \ \mathrm{d}x = \int \frac{x}{\sqrt{u}} \ \cdot (-\frac1{4x}) \mathrm{d}u =$ $-\frac14 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{u}} \ \mathrm{d}u = -\frac14 \cdot \int u^{-\frac12} \ \mathrm{d}u =$ $-\frac14 \cdot u^{\frac12} \cdot \frac1{\frac12}} = -\frac14 \cdot 2 u^{\frac12} =$ $- \frac12 \cdot (100-2x^2)^{\frac12} = - \frac12 \sqrt {100-2x^2}$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int e^{-x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2918
	$-e^{-x} + C$
	$e^{-x} + C$
	$e^{-x+1} + C$
	$\frac{e^{-x+1}}{-x+1} + C$
Lösungsweg $\text{setze } u=-x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x)$ $\mathrm{d}x=- \mathrm{d}u$ $\int e^{-x}\ \mathrm{d}x = - \int e^u \cdot \mathrm{d}u =$ $-e^u + C = - e^{-x} + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x$ $k \in \mathbb R$ Nr. 2923
	$2 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$
	$\frac 12 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$
	$\frac 12 \cdot \ln \\| 2x \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=k^2 + x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(k^2 + x^2)$ $\mathrm{d}x= \frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \int \frac{x}{u}\ \frac {1}{2x} \mathrm{d}u =$ $\int \frac{1}{2u}\ \mathrm{d}u = \frac 12 \cdot \ln \\| u \\| + C = \frac 12 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x$ Nr. 2924
	$\ln(\ln(x)) + C$
	$2 \cdot \(ln(x))^2 + C$
	$\frac{\(ln(x))^2}2 + C$
Lösungsweg $\int \frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\ln(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(x))$ $\mathrm{d}x=x\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{ \ln(x)}{x } \ \mathrm{d}x = \int \frac{u }{x } \cdot x \ \mathrm{d}u = \int u \ \mathrm{d}u =$ $\frac{u^2}2 + C = \frac{\(ln(x))^2}2 + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2926
	$\ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$
	$-\ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$
	$\ln \\|1 - \sin(x) \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))$ $\mathrm{d}x=-\frac1{\sin(x)}\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-u} \cdot (-\frac1{\sin(x)}) \mathrm{d}u = - \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u =$ $\text{setze } 1-u=t$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ $\mathrm{d}u=- \mathrm{d}t$ $- \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u = -\int \frac1{t} \cdot (-1) \mathrm{d}t = \int \frac1{t} \cdot \mathrm{d}t = \ln \\|t \\| + C =$ $\ln \\|1-u \\| + C = \ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac1{x^2-1} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2928
	$\frac12 \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$
	$\frac12 \ln \\| \frac{x+1}{x-1} \\| + C$
	$2 \cdot \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$
	$\frac12 \ln \\| (x-1)(x+1) \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac1{x^2-1} \ \mathrm{d}x = \int \frac1{(x+1)(x-1)} \ \mathrm{d}x$ Zerlegen des Terms mit Hilfe der Partialbruchzerlegung $\frac1{(x+1)(x-1)} = \frac A{x+1} + \frac B{x-1}$ $\frac1{(x+1)(x-1)} = -\frac12 \cdot \frac 1{x+1} + \frac12 \cdot \frac 1{x-1}$ $\int \frac1{(x+1)(x-1)} \ \mathrm{d}x = -\int \frac12 \cdot \frac 1{x+1}\mathrm{d}x +\int \frac12 \cdot \frac 1{x-1} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x+1 \vspace \text{und} \vspace t = x-1$ $-\frac12 \ln \\|u \\| + \frac12 \ln \\| t \\| + C = -\frac12 \ln \\|x+1 \\| + \frac12 \ln \\| x-1 \\| + C =$ $\frac12 \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2967
	$-\frac1n\cos (nx) +C$
	$\frac1n\cos (nx) + C$
	$-n\cos (nx) + C$
	$n\cos (nx) + C$
Lösungsweg $\int \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=nx$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(nx)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{n} \mathrm{d}u$ $\int \! \sin (nx) \ \mathrm{d}x = \frac1n \int \! \sin (u) \ \mathrm{d}u = -\frac1n \cos(u) = -\frac1n \cos(nx)$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \! \cos (nx) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2968
	$\frac1n \sin(nx) + C$
	$n \sin(nx) + C$
	$-\frac1n \sin(nx) + C$
	$\sin(nx) + C$
Lösungsweg $\int \! \cos (nx) \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=nx$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(nx)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{n} \mathrm{d}u$ $\int \! \cos (nx) \ \mathrm{d}x = \frac1n \int \! \cos (u) \ \mathrm{d}u = \frac1n \sin(u) = \frac1n \sin(nx)$

Bestimmen Sie das unbestimmte Integral: $\int x \cdot e^{x^2} \mathrm{d}x$ Nr. 2976
	$\frac12 e^{x^2} + C$
	$e^{2x} \cdot (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) + C$
	$2 e^{x^2} + C$
	$e^{x^2} + C$
Lösungsweg $\int x \cdot e^{x^2} \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2)$ $\mathrm{d}x=\frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int x \cdot e^{x^2} \mathrm{d}x = \int x \cdot e^{u} \frac1{2x} \mathrm{d}u = \int \frac12 e^u \mathrm{d}u = \frac12 e^u = \frac12 e^{x^2}$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \! \tan (nx) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2988
	$-\frac1n \ln\|\cos(nx)\| + C$
	$\frac1n \ln\|\cos(nx)\| + C$
	$-\frac1n \ln\|\sin(nx)\| + C$
Lösungsweg $\int \! \tan (nx) \ \mathrm{d}x = \int \! \frac{\sin(nx)}{\cos(nx)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(nx)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(nx))$ $\mathrm{d}x=-\frac {1}{n\sin(x)} \mathrm{d}u$ $\int \! \frac{\sin(nx)}{\cos(nx)} \ \mathrm{d}x = - \int \! \frac{\sin(nx)}{ u} \cdot \frac1{n\sin(nx)} \ \mathrm{d}u =$ $- \frac1n \int \frac1u \mathrm{d}u = -\frac1n \ln\|u\| = -\frac1n \ln\|\cos(nx)\|$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \! \tan (x) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2989
	$- \ln\|\cos(x)\| \quad+ C$
	$\frac1{\ln\|\cos(x)\|} + C$
	$- \ln\|\sin(x)\| \quad+ C$
Lösungsweg $\int \! \tan (x) \ \mathrm{d}x = \int \! \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))$ $\mathrm{d}x=-\frac {1}{n\sin(x)} \mathrm{d}u$ $\int \! \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \ \mathrm{d}x = - \int \! \frac{\sin(x)}{ u} \cdot \frac1{\sin(x)} \ \mathrm{d}u =$ $- \int \frac1u \mathrm{d}u = - \ln\|u\| = - \ln\|\cos(x)\|$

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Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x$ Nr. 2907
	$-\ln \\| 1-e^x \\| + C$
	$\ln \\| \frac{1}{1-e^x} \\| + C$
	$\ln \\| 1-e^x \\| + C$
	$-e^x$
Lösungsweg $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=1-e^x$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1-e^x)$ $\mathrm{d}x=- \frac {1}{e^x} \mathrm{d}u$ $\int \frac{e^x}{1-e^x}\ \mathrm{d}x= \int \frac{e^x}{u}\cdot ( - \frac{1}{e^x}) \mathrm{d}u =$ $- \int \left( \frac 1u \right) \cdot \mathrm{d}u = - \ln\\| u \\| + C =- \ln\\| 1-e^x \\| + C =$ $\ln\\| (1-e^x)^{-1} \\| + C = \ln\\| \frac{1}{(1-e^x)}\\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x$ $k \in \mathbb R$ Nr. 2923
	$2 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$
	$\frac 12 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$
	$\frac 12 \cdot \ln \\| 2x \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=k^2 + x^2$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(k^2 + x^2)$ $\mathrm{d}x= \frac {1}{2x} \mathrm{d}u$ $\int \frac{x}{k^2 + x^2}\ \mathrm{d}x = \int \frac{x}{u}\ \frac {1}{2x} \mathrm{d}u =$ $\int \frac{1}{2u}\ \mathrm{d}u = \frac 12 \cdot \ln \\| u \\| + C = \frac 12 \cdot \ln \\| k^2 + x^2 \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2926
	$\ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$
	$-\ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$
	$\ln \\|1 - \sin(x) \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(x)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))$ $\mathrm{d}x=-\frac1{\sin(x)}\cdot \mathrm{d}u$ $\int \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \ \mathrm{d}x = \int \frac{\sin(x)}{1-u} \cdot (-\frac1{\sin(x)}) \mathrm{d}u = - \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u =$ $\text{setze } 1-u=t$ $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}(1-u)$ $\mathrm{d}u=- \mathrm{d}t$ $- \int \frac1{1-u} \mathrm{d}u = -\int \frac1{t} \cdot (-1) \mathrm{d}t = \int \frac1{t} \cdot \mathrm{d}t = \ln \\|t \\| + C =$ $\ln \\|1-u \\| + C = \ln \\|1 - \cos(x) \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \frac1{x^2-1} \ \mathrm{d}x$ Nr. 2928
	$\frac12 \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$
	$\frac12 \ln \\| \frac{x+1}{x-1} \\| + C$
	$2 \cdot \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$
	$\frac12 \ln \\| (x-1)(x+1) \\| + C$
Lösungsweg $\int \frac1{x^2-1} \ \mathrm{d}x = \int \frac1{(x+1)(x-1)} \ \mathrm{d}x$ Zerlegen des Terms mit Hilfe der Partialbruchzerlegung $\frac1{(x+1)(x-1)} = \frac A{x+1} + \frac B{x-1}$ $\frac1{(x+1)(x-1)} = -\frac12 \cdot \frac 1{x+1} + \frac12 \cdot \frac 1{x-1}$ $\int \frac1{(x+1)(x-1)} \ \mathrm{d}x = -\int \frac12 \cdot \frac 1{x+1}\mathrm{d}x +\int \frac12 \cdot \frac 1{x-1} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=x+1 \vspace \text{und} \vspace t = x-1$ $-\frac12 \ln \\|u \\| + \frac12 \ln \\| t \\| + C = -\frac12 \ln \\|x+1 \\| + \frac12 \ln \\| x-1 \\| + C =$ $\frac12 \ln \\| \frac{x-1}{x+1} \\| + C$

Berechnen Sie das unbestimmte Integral $\int \! \tan (nx) \ \mathrm{d}x$ Nr. 2988
	$-\frac1n \ln\|\cos(nx)\| + C$
	$\frac1n \ln\|\cos(nx)\| + C$
	$-\frac1n \ln\|\sin(nx)\| + C$
Lösungsweg $\int \! \tan (nx) \ \mathrm{d}x = \int \! \frac{\sin(nx)}{\cos(nx)} \ \mathrm{d}x$ $\text{setze } u=\cos(nx)$ $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(nx))$ $\mathrm{d}x=-\frac {1}{n\sin(x)} \mathrm{d}u$ $\int \! \frac{\sin(nx)}{\cos(nx)} \ \mathrm{d}x = - \int \! \frac{\sin(nx)}{ u} \cdot \frac1{n\sin(nx)} \ \mathrm{d}u =$ $- \frac1n \int \frac1u \mathrm{d}u = -\frac1n \ln\|u\| = -\frac1n \ln\|\cos(nx)\|$

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Fragenliste von Unbestimmte Integrale - Substitution

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